Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вопрос 22.3. Уравнения в полных дифференциалах.
Определение 22.3. Дифференциальное уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция , что . Из определения следует, что . Так как , то ‑ это условие, как можно показать, является необходимым и достаточным условием существования функции . Из при фиксированном y, получаем . Подставляя в , получаем или . Так как , то функция зависит только от y: . Отсюда . Решая это уравнение, найдем , тогда , Но , тогда получаем полный интеграл, из которого находим . Пример 22.4. , это уравнение в полных дифференциалах, так как . Интегрируя при фиксированном y, получим . Подставляя в , получим . Следовательно, . Конец примера. ЛЕКЦИЯ № 23. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Вопрос 23.1. Уравнения вида . Пусть есть решение уравнения , тогда интегрируя, получим , где ‑ одна из первообразных для . Итак, удовлетворяет новому дифференциальному уравнению, порядок которого на единицу ниже. Правая часть уравнения вновь есть функция только x, тогда интегрируя 2-й раз, получим: . Повторяя это еще (n -2) раза получим . ‑ решение уравнения . Пример 23.1. . Конец примера. Пример 23.2. Движение материальной точки под действием постоянной силы. . ‑ постоянное ускорение, поэтому , интегрируя, получим , , тогда . Вопрос 23.2. Уравнения вида . Это уравнения, которые явно не содержат . Обозначим , тогда , то есть относительно получаем уравнение , порядок которого на k меньше исходного уравнения. ПРИМЕР 23.3. . Пусть , тогда и подставляя в уравнение, получаем ‑ линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Решая его, найдем или Тогда, интегрируя дважды, получим , . Конец примера. Вопрос 23.3. Уравнение вида . Это уравнение не содержит явно независимой переменной x и допускает понижение порядка подстановкой , тогда Каждый раз получаем выражение, которое имеет порядок производной на единицу ниже. Пример 23.3. ‑ уравнение математического маятника. или разделяя переменные . Тогда , разделяя переменные, получим . Откуда или . Конец примера. Вопрос 23.4. Уравнения вида . Это уравнение интегрированием сводится к уравнению (n -1) порядка . Пример 23.4. . , интегрируя правую и левую часть, получим , . Конец примера. Вопрос 23.5. Уравнения вида , где - однородная функция k -го порядка относительно .
По определению однородная функция k -го порядка удовлетворяет соотношению . Для таких уравнений делают подстановку . Тогда , и т.д. и сокращают уравнение на . Порядок уравнения понижается. Пример 23.5. . Подставляя , получим или . Тогда или после разделения переменных Отсюда, после переобозначения констант и . Конец примера. ЛЕКЦИЯ № 24. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 202; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.190.152.38 (0.014 с.) |