Вопрос 20.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Задача 20.1. Движение материальной точки массы m под действием силы F вдоль оси X.

На основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения материальной точки:

,

где

m ‑ масса, a ‑ ускорение, t ‑ время, x (t) - координата, ‑ скорость.

Так как , то

.

Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее закон движения материальной точки. Чтобы его определить однозначно, требуется задать начальные условия

Задача определения из

называется задачей Коши. В частности, если , то решение задачи Коши имеет вид:

.

Задача 2. Движение материальной точки массы m в пространстве под действием силы .

Уравнения движения дает второй закон Ньютона:

Для однозначного решения задачи зададим начальные условия:

Тогда получаем уже систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с начальными условиями. В векторной форме она выглядит так:

Задача 3. Радиоактивный распад. Химические реакции первого рода. Остывание нагретого тела. Скорость изменения численности популяции.

Пусть m (t) ‑ количество радиоактивного вещества в момент времени t. Закон радиоактивного распада утверждает, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству не распавшегося вещества, то есть

.

Начальное условие .

Решение этой задачи Коши имеет вид .

Пусть m (t) ‑ количество химического вещества, которое распадается по реакции

A продукты реакции,

и пусть скорость распада пропорциональна количеству не прореагированного вещества, тогда уравнение реакции

.

Начальное условие . Пример реакции

.

Пятиокись азота двуокись азота

Пусть некоторое тело нагрето до температуры и оставлено остывать. Согласно закону Ньютона скорость остывания пропорциональна температуре тела, то есть

Пусть N - число особей в популяции, например, волков, тогда при больших N скорость изменения числа особей в популяции пропорциональна N:

Если , то , если , то при .

Вывод: различные физические, химические, биологические процессы описываются одним и тем же уравнением.

Задача 4. Математический маятник.

Пусть на материальную точку массы m действует упругая сила , тогда по закону Ньютона

Обозначим , тогда получим уравнение свободных колебаний

.

Задача 5. Электрические колебания в контуре.

Согласно законам Кирхгофа

,

.

Отсюда

,

или дифференцируя по t

.

Пусть , тогда после деления на L получим

.

Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

Определение 20.1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида:

,

которое содержит независимое переменное x, неизвестную функцию y (x), и ее производные вплоть до n -го порядка включительно.

Дифференциальное уравнение разрешено относительно производной n -го порядка, если его можно представить в виде

.

Определение 20.2. Решением обыкновенного дифференциального уравнения n -го порядка называется всякая функция y (x), которая обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Определение 20.3. Множество решений обыкновенного дифференциального уравнения n -го порядка вида

,

где ‑ произвольные постоянные, называется общим решением.

Каждый выбор этих постоянных дает частное решение. График частного решения называется интегральной кривой, а множество всех интегральных кривых называется семейством интегральных кривых.

Часто обыкновенное дифференциальное уравнение n‑ го порядка можно свести к уравнению вида

,

где ‑ произвольные постоянные.

Оно называется общим интегралом. Каждый выбор этих постоянных дает частный интеграл .

Определение 20.4. Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение n -го порядка и требуется найти его решение, удовлетворяющее начальным условиям

,

тогда говорят, что задана задача Коши:

,

.

Для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка сформулируем теорему существования и единственности решения задачи Коши:

Теорема 20.1. Пусть функция непрерывна в замкнутой области D переменных , содержащей точку , тогда, если частная производная этой функции по y непрерывна на этом множестве, то задача Коши на некотором отрезке имеет решение и это решение единственное.

Пример 20.1. Задача Коши

имеет единственное решение , так как в любой замкнутой области, содержащей точку (0,1) функция и ее частная производная по y

непрерывны.

Пример 20.2. Задача Коши

.

имеет два решения и . Правая часть уравнения непрерывна в любой окрестности точки (0,0), но производная по y

терпит разрыв в точке (0,0). Поэтому условия применимости теоремы 1 нарушены. Возможность существования нескольких решений задачи Коши определяется теоремой Пеано.

Теорема 20.2. (Пеано) Если непрерывна на замкнутой области D переменных x, y, то при условии, что точка принадлежит этой области, задача Коши имеет хотя бы одно решение в некоторой окрестности точки .