Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вопрос 10.1. Длина плоской кривой.
Пусть L плоская кривая, начало и конец которой расположены в точках A и B. Разобьем кривую AB n +1 точкой . Соединим их отрезками прямых, тогда получим ломаную . Пусть ‑ длина i -го звена ломаной. Положим . Тогда, если существует предел , то его называют длиной дуги AB, а саму кривую называют спрямляемой (см. рис. 1). Рис. 1. Длина плоской кривой.
Определение 10.1. Пусть две непрерывные функции на отрезке . Уравнения вида называются параметрическими уравнениями плоской непрерывной кривой, переменную t ‑ называют параметром. Если и непрерывные функции, то кривая называется гладкой. Теорема 10.1. Пусть L ‑ параметрически заданная гладкая кривая, тогда ее длина равна . Доказательство. Разобьем отрезок на части точками . Пусть эти значения параметра соответствуют точкам кривой . Длина i -го звена ломаной равна . По теореме Лагранжа , . Тогда , составив сумму длин всех звеньев ломаной, получим интегральную сумму , которая, в силу непрерывности производных при , сходится к интегралу . Конец доказательства. Если кривая задана функций , нетрудно получить формулу длины гладкой кривой, если положить тогда , и, следовательно, . Пример 10.1. Вычислить длину параболы на отрезке . ={интегрируем по частям}= Решая уравнение, получим . Определение 10.2. Кривая называется замкнутой, если значениям параметра и соответствует одна и также точка кривой (см. рис. 2). Определение 10.3. Если некоторому внутреннему значению параметра соответствуют две разные точки кривой, то кривая называется самопересекающейся (см. рис. 2). Рис 2. Замкнутая и самопересекающая кривые. Вопрос 10.2. Кривизна и радиус кривизны плоской кривой. Пусть плоская кривая задана функцией , имеющей непрерывную вторую производную. Пусть длина дуги равна S, а ‑ угол между касательными в точках M и (см. рис. 2). Рис. 3. Кривизна плоской кривой. Определение 10.4. Кривизной плоской кривой в точке M называется предел . Величина обратная модулю кривизны называется радиусом кривизны . Теорема 10.2. Если кривая задана дважды непрерывно дифференцируемой функцией , то ее кривизна равна . Доказательство. Пусть точке M соответствует аргумент x, а точке ‑ аргумент . Длина кривой S равна , где была использована теорема о среднем значении. Так как , то и поэтому, применяя формулу Лагранжа, получим
или , тогда . Конец доказательства. Пример 10.2. Вычислить кривизну и радиус кривизны окружности . . Подставляя в формулу кривизны, получим .
ЛЕКЦИЯ № 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 330; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.130.31 (0.007 с.) |