Вопрос 3. 3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби.

Определение 3.2. Простейшими рациональными дробями называются дроби вида:

,

причем квадратный трехчлен имеет только комплексные корни (отрицательный дискриминант ).

Справедлива следующая теорема (без доказательства):

Теорема 3.7. Любая правильная рациональная дробь может быть разложена на сумму простейших рациональных дробей, при этом если знаменатель разложен на множители, то

множителю соответствует одна дробь ,

множителю соответствует сумма дробей , множителю соответствует дробь ,

множителю соответствует сумма дробей

.

Рассмотрим метод нахождения неопределенных постоянных в разложении рациональной дроби на простейшие (метод неопределенных коэффициентов):

a) простые действительные корни (то есть их кратность равна единице), приведем их к общему знаменателю

.

и приравняем числители

.

Положим , т.е. корням знаменателя, тогда

то есть

.

b) кратные действительные корни или комплексные корни.

.

После приведения к общему знаменателю приравниваем числители

.

Положим , то есть корню знаменателя, тогда , тогда получим, перенеся слагаемое в левую часть равенства

или

,

подставив вновь , получим . Перенесем в левую часть слагаемое , найдем

,

или после сокращения на x +2

,

откуда найдем, . Следовательно,

.

Вопрос 3.4. Интегрирование простейших дробей.

Простейшие дроби первых двух типов сводятся к табличным простой заменой переменной:

1) .

2) .

Простейшие дроби третьего типа вычисляются путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе и соответствующих замен переменных

3) ,

где .

Формула получается следующим образом. Выделим полный квадрат в знаменателе

где (так как дискриминант ).

Введем замену переменных , тогда получим интеграл

Второй интеграл табличный . В первом сделаем замену , тогда получим

.

Откуда

.

отсюда получается доказываемая формула заменой .

4) ,

где

‑ многочлен степени с неопределенными коэффициентами

C,D ‑ неизвестные коэффициенты.

Для определения коэффициентов нужно продифференцировать левую и правую часть равенства и применить метод неопределенных коэффициентов. Метод вычисления интеграла от рациональной дроби по этой формуле является частным случаем метода Остроградского.

Вопрос 3.5. Примеры интегрирования рациональных дробей.

Пример 3.6. .

Разложим дробь на простейшие

или

.

1-й способ (основной):

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x

,

отсюда

2-й способ:

Положим x равным корням знаменателя рациональной дроби, то есть положим

Отсюда получаем

.

Конец примера.

Пример 3.7.

.

Разложим дробь на простые

,

и приведем правую часть к общему знаменателю. Приравняем числители, тогда

.

1-й способ:

2-й способ:

.

Положим x равным корню знаменателя, то есть x =1, тогда получим 2=2 B или B =1. Подставляя это в равенство, получим

,

или

.

Откуда

.

Положим .

Положим .

Тогда получим

Откуда получим

Конец примера.

Пример 3.8. .

.

Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем числители

Найдем коэффициенты

1-й способ:

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по степеням x

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим:

Отсюда и получаем систему

Решая ее, найдем .

2-й способ:

Положим x равным корню знаменателя, то есть x =1, тогда получим . подставляя в равенство, получим

или

или

.

Сокращая на общий множитель , найдем

,

откуда .

Отсюда получаем разложение

.

Отсюда получаем

Конец примера.

Пример 3.9. .

Для вычисления применим метод Остроградского

.

Дифференцируя это равенство, получим

.

Приведем правую часть к общему знаменателю

и приравняем числители

.

Сравнивая коэффициенты при старших степенях, получим:

Отсюда находим . Поэтому получаем

Конец примера.