Применение графиков функций при решении задач школьной математики

1.1. Задачи на смеси и растворы

Пусть смешивают m ₁ кг раствора, содержащего x ₁% контрольного вещества и m ₂ кг раствора, содержащего x ₂% контрольного вещества. В результате получают M = m ₁ + m ₂ кг нового раствора, который содержит 0,01(m ₁ x ₁ + m ₂ x ₂) кг контрольного вещества и имеет его процентное содержание (1)

Это — формула взвешенного среднего величин x ₁ и x ₂, и она является рабочей для многих задач, в том числе для элементарных, базисных задач на определение итоговой концентрации (в %), исходной концентрации (количества) одного из смешиваемых веществ и т. д.

Простой анализ формулы (1) показывает, что величина x не зависит от абсолютных значений масс m ₁ и m ₂, а зависит только от их отношения, т. е. является однородной функцией от m ₁ и m ₂ порядка k = 0.

Что касается зависимости величины x от величин x ₁ и x ₂, то она носит линейный характер (важный частный случай однородности порядка k = 1). Тем самым, эта формула позволяет продемонстрировать еще одно важное понятие – понятие однородности выражения по переменным, которое будет востребовано в дальнейшем при решении тригонометрических, показательных и иных однородных уравнений.

Далее, формула (1) содержит два различных типа величин: экстенсивные количества и интенсивные процентные содержания. В самом деле, если мы прибавим к некоторому количеству m ₁ раствора с концентрацией x ₁ точно такое же количество m ₂ = m ₁ с концентрацией x ₂ = x ₁, то получим итоговое количество m = 2 m ₁, но с концентрацией x = x ₁.

Выясним, в чем заключается графическая интерпретация формулы (1). Рассмотрим числовую ось Ox, на которой будем отмечать составы смеси точками в промежутке от 0 до 100, либо в относительных единицах от 0 до 1. Припишем каждой точке соответствующую массу. Тогда выражение (1) задает хорошо известное из статики положение центра масс (точки баланса) системы двух материальных точек с массами m ₁ и m ₂. Положение центра масс легко находится графически: путем деления отрезка [ x₁; x₂ ] в отношении обратных масс (рис.1).

Такое деление отрезка осуществляется элементарно через построение на нем двух подобных, для простоты, прямоугольных треугольников с вертикальными катетами, с длинами соответственно m ₂ и m ₁, но по разные стороны от этого отрезка. Это хорошо известное из статики «правило рычага», оно же «золотое правило механики»: чем больше вес (вообще сила), тем меньше должно быть ее плечо относительно точки баланса, и наоборот.

Этапы построения:

1) Отмечаем на оси Ox составы смесей x₁ и x₂.

2) Откладываем от них m ₂ и m ₁ соответственно, по разные стороны от оси и перпендикулярно ей.

3) Соединяем концы катетов.

4) Точка пересечения с осью Ox – искомая средняя концентрация.

x2

x1

m1

xср.

m2

x

Рис. 1

Для облегчения построения можно применить другой прием, который допускает его легкое последовательное использование в задачах с числом исходных смесей n > 2. А именно, катеты с длинами m ₁ и m ₂ откладываются от своих «родных» точек числовой оси – x₁ и x₂; концы катетов соединяются отрезком, а точка пересечения с осью симметрично отражается относительно середины отрезка

При решении задач с n ³ 3 «массы» m_i можно откладывать сразу вверх и вниз, а соединяющие линии проводить на выбор одним из двух описанных выше способов.