Cвойства cреднего взвешенного

На значения интенсивной величины x, найденной по формуле (1) распространяются все свойства, имеющие место для координаты центра системы точечных масс. А именно:

1) x Î (x ₁; x ₂) (x ₁ < x ₂);

2) при изменении x ₁ и x ₂ на одну и ту же величину D, состав x изменяется на такую же величину;

3) при изменении x ₁ и x ₂ в одинаковое число раз величина x изменяется в то же число раз;

4) при изменении m ₁ и m ₂ в одинаковое число раз величина x не изменяется;

5) взвешенное среднее нуля и единицы равно весу единицы.

Заметим, что формула (1) обобщается на любое число n (n > 2) смешиваемых растворов с концентрациями x_i, i =1, 2, …, n:

(2) Также сохраняются все вышеперечисленные свойства с поправкой на число растворов.

Пример 1. Смешали 1,5 литра раствора соляной кислоты (HCl) с концентрацией 21,5% и 3,5 л с концентрацией 41,5%. Какова концентрация HCl в получившейся смеси?

Решение.

Если вычесть из концентраций величину D = 21,5%, то получим растворы с концентрациями 0% и 20% соответственно.

«Центр масс» такой смеси находится путем деления отрезка длиной 20 в отношении 3,5:1,5 или же 7:3 (рис.2). Получим 14%.

20%

1,5 л

14%

3,5 л

x

10%

0%

Рис. 2

Теперь осуществляем обратный сдвиг на D = 21,5% и получаем ответ 35,5% HCl.

Ответ: 35,5%.

Пример 2. Какой процентный состав получится при смешении m₁ = 3,7 л водного раствора уксуса с концентрацией x₁ = 34,5% с m₃ = 3,7 литрами концентрации x₃ = 54,5% и некоторого количества m₂ раствора 44,5%–ной концентрации?

Решение.

Здесь мы имеем три (n = 3) исходные смеси. При этом применить рабочую формулу мы не можем, но не по причине неудобных данных, а ввиду отсутствия информации о количестве m ₂. Однако нетрудно видеть, что необходимости в задании этого количества нет. В самом деле, элементарное построение на оси Ox (рис. 6.3) делает наглядным и легко замечаемым симметричное расположение точек состава относительно x ₂ = 44,5%. Крайние «массы» (в данном случае объемы) m ₁ и m ₃ при этом отображаются отрезками одинаковой высоты. Следовательно, какой бы ни была масса m₂, даже отрицательной в случае выпаривания такого раствора из смеси, концентрация получившегося раствора будет точно равна x ₂.

x

34,5%

54,5%

44,5%

3,7 л

Рис. 3

Ответ: 44,5%.

В несколько усложненном варианте аналогичную задачу можно сформулировать для случая четырех (n = 4) исходных смесей, три из которых образуют симметрическое расположение. При этом также путем параллельного переноса все концентрации можно сделать неудобными для прямых вычислений.

Пример 3. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 40 %, а в другом – 20 % серебра. Сколько килограмм второго сплава необходимо добавить к 14 кг первого, чтобы получить сплав с 34 %–ной концентрацией серебра?

Решение.

Откладываем на оси Ox заданные исходные концентрации 20% и 40% и конечную концентрацию 34%. От концентрации 20% откладываем катет, соответствующий 14 килограммам. Проводим прямую через конец этого катета и точку на оси Ox, обозначающую конечную концентрацию 34% до пересечения с перпендикуляром, отложенным от второй исходной концентрации 40%. Полученная длина катета соответствует 6 килограммам (рис. 4).

x

20%

40%

34%

14 кг

6 кг

Рис. 4

Ответ: 6 кг.

1.2. Задачи на движение

При решении задач на составление уравнений наиболь­шую трудность обычно вызывает составление уравнений или системы уравнений, а уж потом их решение. И в том и в другом случае часто оказывается полезным рисунок, иллюстрирующий условие задачи и его анализ с точки зрения геометрии. Вводят координатную плоскость, по одной из осей которой от­кладывается время, по другой — путь, пройденный телом, выполненная работа и т. д. Тогда любая точ­ка этой плоскости с координатами (t, s) будет соответ­ствовать, например, пути S, пройденному объектом за время t, а само движение изобразится некоторой линией в этой плоскости (траекторией).

Пример 4. Из пункта М в пункт N вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта М выехал велосипедист, а еще через 30 мин — мотоциклист. Пеше­ход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время оказалось, что все трое преодолели одинаковую часть пути от М к N. На сколько минут раньше пешехода в пункт N прибыл вело­сипедист, если пешеход прибыл в пункт N на 1 ч позже мото­циклиста?

Решение.

Рассмотрим плоскость, по оси абсцисс которой отложим время, а по оси ординат — пройденный путь (рис. 5). Пусть отрезок ОЕ соответствует пути, пройденному пеше­ходом, отрезок AD — велосипедистом, прямая ВС — мото­циклистом. Так как в некоторый момент времени они на­ходятся в одной точке, то все три отрезка имеют на рисунке общую точку.

t

S

O

E

A

D

B

C

Рис. 5

В соответствии с условием задачи OA =2, AB =0,5, СЕ=1; требуется найти DE. Так как прямые СЕ и ОВ параллельны, то OB/CE=OA/DE или DE= , откуда x=4/5 ч или 48 мин.

Ответ:48 мин.

Пример 5. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта В в пункт А выехал велосипедист, который встретил пешехода через 50 мин после своего выезда из В. Сколько времени потре­бовалось бы пешеходу для того, чтобы пройти весь путь из А в В, если известно, что велосипедист проделал бы тот же путь на 4 ч быстрее пешехода (рис. 6.6).

Решение.

Пусть BD — траектория велосипедиста, АС — траектория пешехода, t — время, затраченное пешеходом на путь от А до В (в ч).

S

t

B

D

A

C

C’

O’

O”

O

5/6

t–4

Рис. 6

Имеем: СОО" ~ ОО'А, откуда СО"/О'А = = 00"/00', D00'~ 00"B, откуда O"B/O'D=00"/00', следовательно,

, или .

Это уравнение сводится к квадратному относительно t, решая которое получим t₁ = 2/3, t₂ = 5.

Ответ: t = 5 ч.

Пример 6. Из пункта А в пункт В отправились одновре­менно пешеход и велосипедист. Велосипедист, доехав до пункта В, повернул обратно и встретил пешехода через 20 мин после отправления из А. Доехав до А, он опять по­вернул и догнал пешехода через 10 мин после встречи. Через какое время пешеход придет в В?

Решение.

Линия AB'DK (рис.7) соответствует пути, который проехал велосипедист, АК — пути, пройденному пешеходом, АС'= 20, С'К'= 10, CDK~ CB'A, откуда

.

A

B

N

C’

D

K’

S

t

K

C

Рис. 7

Следовательно, AN= АВ. Таким образом, на 1/3 пути (АС) пешеход затратил 20 мин, а на весь путь он за­тратит 1 ч.

Ответ: 1 ч.

1.3. Задачи на совместную работу

Решению таких задач, как правило, предшествует графическая интерпретация условия. Традиционные подходы не всегда позволяют сделать чертёж наглядным, дающим полноценное представление о действиях, описанных в задаче. Если речь идёт о равномерной работе, то рассматриваемые процессы удобно иллюстрировать графиками функций выполненной работы от времени. Такой подход позволяет давать графикам геометрическую интерпретацию. На смену составлению и решению сложных систем уравнений приходит использование геометрических свойств фигур: подобия треугольников, свойства пропорциональных отрезков и т. д.

Пример 7. Баржа была разгружена с помощью двух кранов на протяжении 15ч, причём первый крановщик приступил к работе на 7 ч позже второго. Известно, что первый крановщик, работая отдельно, может разгрузить баржу на 5 ч быстрее второго. За сколько времени может разгрузить баржу каждый крановщик, работая отдельно?

Решение.

Пусть FC=x ч – неизвестный промежуток времени (рис. 8).

A

O

F

C

T

M

t, ч

v

P

E

K

D

x

x

B

I

II

Рис. 8

; , откуда x = 5.

Тогда AT = 15 + 5 + 5 = 25 ч, OM = 25 – 5 = 20 ч.

Ответ: 25 ч, 20 ч.

Пример 8. Две машинистки должны отпечатать рукописи с одинаковым числом страниц. Первая приступила к работе на 3 ч раньше второй и отпечатала к определённому моменту времени больше, чем вторая, на страниц рукописи. Проработав после этого момента ещё 5 ч, обе машинистки одновременно закончи­ли каждая свою работу. За сколько времени каждая отпечатала свою рукопись?

Решение.

Пусть весь объём работы равен 1, BС = х ч— промежуток времени, недостающий для нахождения времени работы каждой машинистки (рис. 9).

V

O

B

C

D

K

M

E

t, ч

x

5/18

I

II

Рис. 9

BED ~ BMC, , т.е. , следовательно, .

OED ~ OKC, следовательно, , т.е. , x = 1 ч, значит первая машинистка работала 8+1=9 ч, вторая машинистка – 1 + 5 = 6ч.

Ответ: 9ч; 6ч.

Пример 9. Двое рабочих могут выпол­нить некоторую работу за 12 дней. После 8 дней совместной работы второй рабочий перешёл на другой участок. Первый рабо­чий закончил работу за 5 дней. За сколь­ко дней каждый рабочий, работая отдель­но, может выполнить данную работу?

Решение.

Обозначим через х дней и у дней неизвестные промежутки времени (рис. 6.10).

; , откуда .

Так как BO₂T ~ CO₂N и DO₁P ~ AO₁F, то ;

 

, откуда .

A

N

F

M

C

t, дн

O2

O

O1

B

T

K

P

D

x

v

II

I

y

Рис. 10

Таким образом, , откуда x = 2 (x > 0), y = 47.

Тогда BD = 13 + 2 = 15 дней, AC = 13 + 47 = 60 дней.

Ответ: 15 дней, 60 дней.