Нестандартные текстовые задачи

2.1. Задачи, которые решаются при помощи неравенств

Условия большого количества нестандартных задач сформулированы таким образом, что введенные неизвестные связываются между собой не только урав­нениями, но для них существуют и определенные ограничения, мате­матическая запись которых представляет собой некоторую систему неравенств. Возможны случаи, когда уравнения вообще составить не­возможно, а для определения неизвестных приходится решать систему неравенств.

В абсолютном большинстве случаев решением неравенства явля­ется множество, представляющее собой некоторый интервал или от­резок на действительной оси. Возникает вопрос: каким образом из этого множества выбрать единственное значение неизвестной вели­чины, являющееся решением задачи? Здесь возможны три ситуации.

В первом случае одна и та же неизвестная величина удовлетворяет двум неравенствам. Допустим, что решением первого неравенства яв­ляется искомая величина а ≤ х ≤ b, а при решении второго неравенст­ва получим, что b ≤ х ≤ c. Очевидно, что единственным значением х будет х = b.

Во втором случае из условия задачи ясно, что искомые величины могут принимать только целочисленные значения. Это и является до­полнительным условием для определения неизвестных.

Наконец, в третьем случае имеется ряд косвенных признаков, опре­деленных условиями задач, по которым возможно получить однознач­ное решение. Характер некоторых таких признаков станет более ясным из анализа рассмотренных ниже примеров.

Задача 1. В триседьмом царстве живут драконы. У каждого дракона одна, две или три головы. Может ли у 40% драконов быть 70% голов?

Решение. Пусть х – число драконов, а у – общее число голов у них. Предположим, что какие-то 40% драконов имеют 70% голов. Тогда, поскольку каждый из этих драконов имеет не более трех голов, 0,7у ≤ 3∙0,4х. С другой стороны, поскольку остальные 60% драконов имеет 30% голов и у каждого из них не менее одной головы, 0,3у ≥ 0,6х, но эти неравенства не могут выполняться одновременно, т.к. они равносильны соответственно

7у ≤ 12х и 6у ≥ 12х. Поэтому у 40% драконов не может быть 70% голов.

Ответ: не может.

Задача 2. Три школьника, у каждого из которых было несколько бумажных рублей, подошли к киоску с мороже­ным. Петя, имевший меньше всех — всего 1 рубль, купил две порции и ушел. Остальные двое решили купить как можно больше мороженого. Оказалось, что Коля смог бы купить 6 порций, а Вася — 11 порций. Если бы они сложили свои капиталы, то на 18 порций им все равно не хватило бы. Сколько стоит порция мороженого в этом киоске?

Решение. Пусть порция мороженого стоит х копеек. Так как Пете хватило рубля на две порции, то х < 50. Если бы у Коли было не меньше четырех рублей, то ему хватило бы денег на 8 порций, а он смог купить только 6. Следова­тельно, у него было 2 или 3 рубля. Рассмотрим оба случая. Пусть у Коли 2 рубля; он может купить 6 порций моро­женого, но не может купить 7 порций. Тогда порция мороженого стоит больше копеек, но не меньше копеек, т. е. 29 < х < 33. Отсюда 319 < 11х < 363, следовательно, у Васи было не меньше 4 рублей. Но в этом случае у него осталось бы не меньше 37 копеек, а этого хватило бы еще на одну порцию мороженого, что противоречит ус­ловию. Итак, у Коли было 3 рубля, поэтому выполнены неравенства: ≤ х < , откуда 43 < х < 50.

Если х ≥ 46, то 506 ≤ 11х < 550, откуда следовало бы, что у Васи не меньше 6 рублей. Но тогда он смог бы купить не мень­ше 12 порций мороженого. Следовательно, 43 < х ≤ 45 и 473 < 11х ≤ 495, т. е. у Васи было 5 рублей, а вместе с Ко­лей - 8 рублей, причем на 18 порций этого не хватало.

Поэтому х > 800/18 = 44,4..., откуда х = 45 копеек.

Ответ: 45 копеек.

Задача 3. В волейбольном турнире приняло участие несколько команд. После того, как турнир закончился, выяснилось, что среди любых четырех команд найдутся две, которые в играх между командами этой четверки набрали одинаковое число очков. Какое наибольшее число команд могло участвовать в этом турнире? (За победу команде присуждается одно очко, за поражение – 0, ничьих в волейболе не бывает)

Решение: Предположим, что найдется команда А, которая выиграла не менее 4 игр, например, у команд В, С, Д, Е. Рассмотрим любые три команды, пусть это будут В, С, Д, из этих четырех проигравших. Легко увидеть, что при выполнении условия задачи команды В, С, Д, в играх между командами четверки А, В, С, Д должны были набрать ровно по одному очку каждая. Поэтому каждая из этих команд в играх между собой должна выиграть одну игру и одну игру проиграть. Очевидно, что это условие должно выполняться для любой тройки команд из четверки В, С, Д, Е. Но это означает, что в играх между командами этой четверки каждая из них набрала одинаковое количество очков, чего не может быть, ибо в играх между четверкой команд разыгрывается 4∙ = 6 очков, а 6 не делится на 4. Таким образом, не существует команды, набравшей в турнире более 3 очков. Поэтому, если в турнире участвовало k команд, то общее число очков, набранных всеми командами, не должно превышать 3k. Поскольку в турнире было разыграно очков, то < 3k; k(k - 1) < 6k. И поскольку, очевидно, что k ≥ 4, то 4 ≤ k ≤ 7. следовательно, в турнире участвовало не более 7 команд.

Ответ: 7 команд.

Задача 4. Населенные пункты А, В и С соединены пря­молинейными дорогами. К отрезку пути АВ прилегает квадратная делянка леса, сторона которой равна — АВ, к отрез­ку пути ВС - квадратная делянка леса, сторона которой ВС, а к отрезку АС — прямоугольное поле, длина которого АС и ширина 5 км. Площадь поля на 31,25 км больше, чем сумма площадей делянок леса. Найдите площадь поля. [5, с.183]

Решение:Обозначим АВ = х, ВС = у, AC = z.

По ус­ловию 5z = то х² + у²+31,25. Из неравенства треугольника получаем z ≤ х + у. Тогда х² + у² +31,25 ≤ 5х + 5у. Если умножить обе части этого неравенства на 4 и выделить пол­ные квадраты, то получим (х - 10)² + (2у - 5)⁵ ≤ 0. Но сум­ма квадратов чисел не может быть отрицательной, и послед­нее неравенство может быть истинным только при х = 10 и у = , когда левая часть равна правой. Тогда и неравенства х² + у² +31,25 ≤ 5х + 5у и z ≤ x + y обращаются в равенства. Таким образом, пункты А, В и С лежат на одной пря­мой, z = x + y = 12,5 и площадь поля равна 62,5 км².

Ответ:62,5 км².

Задача 5. Не дождавшись трамвая на остановке А, пассажир по­шел к следующей остановке В. Пройдя пути между А и В, он оглянулся и заметил, что от остановки С, непосредственно предшествующей остановке А, к остановке А отошел трамвай. Расстояния АВ и СА соответственно равны 1 км и 1,5 км, а скорость трамвая равна 30 км/ч. С какой скоростью должен бежать пассажир, чтобы успеть сесть в трамвай, независимо от того, побежит он к остановке А или к остановке В? [2, с.168-169]

Решение: Пусть искомая скорость пассажира равна υ км/ч. До остановки А он по­тратит времени υ ч, а до остановки В — υ ч. До остановки А трамвай затратит времени = ч, а до остановки = ч. Так как в обоих случаях пассажир должен прибежать на остановку не позднее трам­вая, то получим:

υ ≤ ;

υ ≤ .

Из первого неравенства следует υ ≥ км/ч, а из второго — υ ≥ 8 км/ч. Пассажир должен успеть добежать до любой остановки, по­этому υ ≥ 8 км/ч.

Ответ: пассажир должен бежать со скоростью не менее 8 км/ч.

Задача 6.В автогонках принимают участие несколько команд, имеющих одинаковое число автомобилей марки «Волга» и «Жи­гули», причем в каждой команде их меньше 7. Если в каждой ко­манде число автомобилей марки «Волга» оставить без изменения, а число «Жигулей» увеличить в 3 раза, то общее число будет на 50 больше общего числа «Волг», а число автомобилей в каждой ко­манде превысит 12. Определить число команд, участвующих в гон­ках, и число «Волг» и «Жигулей» в каждой команде.

Решение: Пусть k — число команд, участвующих в гонках, a m и n — число «Волг» и «Жигулей» в каждой команде. В каждой команде число машин n + m < 7. Далее из условий примера составим еще два соотношения: 3nk - mk = 50 и m + 3n > 12.

Таким образом, имеем следующую систему уравнений:

k(3n - m) = 50,

m + n - 7 < 0,

l2 - m - 3n < 0.

Геометрическая интерпретация неравенств этой системы приведе­на на рисунке. Из него видно, что надо проверить, удовлетворяют ли первому уравнению систе­мы только три пары n = 4, m = 1; n = 4, m = 2 и n = 5, m = 1.

Рас­смотрим и другой подход.

Непосредственно из двух последних неравенств находим n > , m < , т.е. n ≥ 3, m ≤ 4. В принципе, уже можно начинать перебирать значения m = 0, 1, 2, 3 и 4, но мы продолжим искать ограничения. Условие n + m < 7 означает, что m + n ≤ 6. Так как m > 0, то из этого непосредст­венно следует, что n ≤ 5. Укажем еще более строгое ограничение.

Так как m + n ≤ 6, то (m + n) ≤ 3. Из последнего неравенства системы имеем: 12 - m - n < 2n, т. е. n > 6 – .

Но m ≥ 1, n ≥ 3, т.е. ≥ 2.Следовательно, n ≥ 6 - 2 = 4, т.е. n ≥ 4.

Итак, n может принимать только значения 4 и 5. Так как m + n ≤ 6, то m может принимать только значения 1 и 2. Из первого уравнения видно, что число 3n - m должно быть делителем 50. Проверка показывает, что только при n = 4 и m = 2 (3n - m = 10) эта величина является делителем числа 50. Из этого уравнения имеем теперь: k = = 5.

Ответ: участвуют 5 команд, 2 «Волги» и 4 автомобиля «Жигули».

 

2.2. Задачи с целочисленными неизвестными

Задача 7. В футбольном турнире участвовало 10 команд, каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу. Какое наибольшее число очков в турнире могла набрать команда, набравшая в нем меньше всего очков (за победу команда получает 3 очка; проигрыш – 0; за ничью - обе команды по 1 очку).

Решение:Пусть х очков набрала команда, набравшая в турнире меньше всех очков. Тогда любая другая набрала не меньше х + 1 очков. Поэтому общее количество очков, набранных всеми командами, не менее чем

х + 9(х + 1) = 10х + 9. С другой стороны, в каждом из 10∙ = 45 матчей разыграно не более трех очков, поэтому общее число не более 45∙3 = 135. Таким образом, 10х + 9 ≤ 135 <=> 10х ≤ 126 <=> х ≤ 12,6. А так как х – целое число, х ≤ 12. Следовательно, наибольшее число очков, которые могла набрать команда, занявшая последнее место, 12.

Ответ:12 очков.

Задача 8. Есть 2000 долларов на путевки в дома отдыха. Путевки есть на 15, 27 и 45 дней. Стоимость их 21 доллар, 40 долларов и 60 долларов соответственно. Сколько и каких путевок надо купить, чтобы истратить все деньги и чтобы число дней отдыха было наибольшим?[2, с.176]

Решение:Пусть надо купить х путевок первого типа, у путевок второго типа и я путевок третьего типа. По условию задачи 21х + 40у + 60z = 2000. это единственное уравнение, которое можно составить. Кроме того, мы знаем, что х, у, z – натуральные числа и выражение 15х + 27у + 45z (равное общему числу дней отдыха) максимально.

Выясним, какой вид путевок самый выгодный. 1 доллар по путевкам первого типа дает 15/21 дней отдыха, по путевкам второго типа 21/40, а по путевкам третьего типа 45/60 дней. Сравнивая эти дроби, выясняем, что путевки третьего типа самые выгодные, т. к. третья дробь больше всех остальных. Получим ограничения на х и у: на 420 долларов можно купить либо 20 путевок первого типа, либо 7 путевок третьего типа. При этом число дней будет 300 и 315 соответственно. Значит, при оптимальном выборе х, у, z будет выполняться неравенство х < 20. действительно, если х ≥ 20, то можно вместо 20 путевок первого типа купить 7 путевок третьего. Тогда потраченная сумма будет такая же, а число дней увеличиться, т. е. выбор таких x, y, z при которых х ≥ 20, не оптимален.

Далее, на 120 долларов можно купить 3 путевки второго типа или 2 третьего типа. При этом число дней отдыха будет 81 и 90 дней соответственно. Значит, у < 3. перепишем первое уравнение в виде:

21х=2000-40у-60z=10(200-4y-6z)

Отсюда видно, что 21х делиться на 10 и, следовательно, х тоже делиться на 10. значит, х=0 либо х=10, а у – одно из чисел 0, 1, 2. Переберем все возможные случаи.

Пусть х=0, тогда 40у + 60z = 2000 2у + 3z = 100.

Если у = 0, то z = 100/3, чего не может быть.

Если у = 1, то 3z = 100-2 = 98 и опять решений нет.

Если у = 2, то z = 32.

Пусть х = 10. тогда 40у+ 60z = 2000-210 4у + 6z = 179. Это уравнение целых решений не имеет, т. к. слева стоит четное число, а справа – нечетное. Итак, единственная возможность, которая осталась, это х = 0, у = 2, z = 32.

Ответ:нужно купить 2 путевки второго типа и 32 третьего.

Задача 9. Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами, причем девятиэтажных домов меньше, чем пятиэтажных. Если число девятиэтажных домов увеличить вдвое, то общее чис­ло домов станет более 24, а если увеличить вдвое число пятиэтаж­ных домов, то общее число домов станет менее 27. Сколько пятиэтажных и девятиэтажных домов построено? Решение: Обозначим через m и n число пятиэтажных и девятиэтажных домов со­ответственно. Реализуя условия задачи, получаем следующую систему неравенств:

n < m;

2n + m > 24;

2m + n < 27.

Напомним, что при исключении неизвестных из неравенств лучше всего образовать однонаправленные неравенства:

n - m < 0;

24 - 2n – m < 0;

2m + n – 27 < 0.

Теперь можно одно неравенство умножить на одно положительное число, второе — на другое и их сложить. В таком слу­чае мы получим равносильные неравенства. Будем последовательно исключать неизвестные m и n. Умножив первое неравенство на 2 и сложив со вторым, получим

24 - 3m < 0, т. е. m > 8. Умножив первое неравенство на 2 и сложив с третьим, получим 3n - 27 < 0, т. е. n < 9. Теперь умножим второе неравенство на 2 и сложим с третьим. Находим: 21- 3n < 0, т. е. n > 1. Наконец, умножим третье неравенство на 2 и сложим со вторым: 3m - 30 < 0, т. е. m < 10. Итак, получили ограничения для неизвестных m и n: 8 < m < 10, 7 < n <9. Так как m и n — целые положительные числа, то очевидно, что m= 9, n = 8.

Ответ: 9 пятиэтажных и 8 девятиэтажных домов.

Задача 10.Мастер делает за 1ч целое число деталей, большее 5, а ученик на 2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а 2 ученика на 1ч быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ?

Решение: Пусть мастер делает п деталей в час и выполняет всю работу за t часов. Из условия задачи получаем систему

n t=(n-2)(t-1),

n > 5,

Из уравнения системы получаем п = 4 + . Величина должна быть целым числом, большим 1. Это возможно лишь при t = 3 или t = 4. В первом случае п = 8, во втором п = 6. В обоих случаях количество деталей, которое составляет заказ, равно n t = 24.

Ответ: 24 детали.

Задача 11.Линию, связывающую города А и Б, обслуживают самолеты трех типов. Каждый самолет первого, второго и третьего типов может принять на борт соответственно 230, 110 и 40 пассажиров, а также 27, 12 и 5 контейнеров. Все самолеты линии могут принять на борт одновременно 760 пассажиров и 88 контейнеров. Найти число действующих на линии самолетов.

Решение: Пусть количество самолётов 1-го, 2-го и 3-го типов равны соответственно, п, т и k. Из условия задачи получаем систему:

230n+110m+40k=760,

27n+12m+5k=88,

m+n+k ≤ 8.

Вычитаем из второго уравнения первое, уменьшенное в 10 раз, получим уравнение 4n+m+k=12. Т.к. т, п, k целые неотрицательные числа, то все возможные значения величины п суть числа 0, 1, 2, 3.

При п=0, m+k =12 и не выполнено неравенство в системе.

При п = 1, m+k =8 и неравенство снова не выполнено.

При п = 3, m + k =0, то есть m = 0 и k = 0. Но тогда не выполнены уравнения системы. Следовательно, п=2. Тогда m+k=4, причём неравенство в системе выполняется. Подставляя значение п=2 в уравнения системы, получаем систему: 11m+4k=30,

12m+5k=34, откуда k = m = 2.

Ответ: По 2 самолёта каждого типа.

Задача 12.Каждый зритель, пришедший на спектакль «королевский жираф», принёс с собой либо дохлую кошку, либо два кочана капусты, либо три тухлых яйца. После окончания спектакля оба артиста были с ног до головы закиданы припасами, причём на долю каждого досталось поровну попаданий. Правда король принял на себя лишь пятую часть всех яиц и седьмую часть капусты, но все 64 дохлые кошки полетели именно в него. Сколько зрителей пришло на представление?

Решение: Из условия следует, что общее число кочанов капусты делится на 2, а общее количество яиц на 3. Пусть в короля попало x яиц и y кочанов(и 64 кошки), герцогу досталось 4х яиц и 6у кочанов. Так как всего в них угодило поровну предметов, то можно составить уравнение х+у+64=4х+6у, которое приводит к виду Зх+5у=64. Это уравнение имеет 4 решения в натуральных числах (их можно отыскать простым перебором):

1) x = 3, y = 11

2) x – 5, y = 8

3) х=13,у=5,

4) х = 18, у=2.

Общее число яиц, очевидно, равно 5x, а общее число кочанов капусты 7у. Эти значения для каждого из четырёх случаев равны:

1) яиц – 15, кочанов- 77

2) яиц -40, кочанов - 56;

3) яиц -65, кочанов - 35;

4) яиц – 90, кочанов - 14

А теперь вспомним, что число яиц делится на 3, а число кочанов на 2. Из всех найденных ответов лишь последний удовлетворяет этим требованиям. Тогда число зрителей, принесших яйца, равно 90:3=30, число зрителей, запасшихся капустой, равно 14:2 = 7, а число зрителей, пришедших с кошкой, равно 64 (так как каждый принёс одну кошку). Поэтому общее число зрителей равно 30+7+64=101.

Ответ: 101 зритель.