Теорема о делении с остатком

Каковы бы ни были целые числа a и b, найдутся два таких целых числа q и r, что a = b· q + r, где 0≤ r <│b│.

Доказательство

Пусть b > 0.

Рассмотрим ряд чисел: …-2b, -1b,0b, 1b, 2b,…

В этой последовательности найдется наибольшее число, которое не превосходит a, т.е. b· q ≤ a < b· (q +1) или 0≤ a - b· q < b. Обозначим

a - b· q = r, получим: a = b· q + r, где 0≤ r <│b│, что и требовалось доказать.

Случай b ≤ 0 доказать самостоятельно.

Единственность

 

Нахождение наибольшего общего делителя с помощью алгоритма

Евклида.

По теореме о делении с остатком для любых натуральных чисел a и b справедливо равенство a = b· q + r, где 0≤ r < b. Если d =(a;b), то по теореме 4 о делимости d =(r;b), тогда по теореме о делении с остатком для натуральных чисел r и b справедливо равенство:

b = r· q + r₁, где 0≤ r₁ < r, d =(r;r₁), далее

r= r₁· q + r₂, где 0≤ r₂ < r, d =(r₂; r₁),

r₁= r₂· q + r₃, где 0≤ r₂ < r, d =(r₂; r₃),

…………………………………………..

r_n-1= r_n· q, d =(r_n-1; r_n) = r_n

Поскольку остатки при делении уменьшаются, то на каком-то шаге появится остаток, равный нулю. r_n-1= r_n· q, d =(r_n-1; r_n) = r_n

 

Tаким образом, наибольший общий делитель двух чисел равен последнему, отличному от нуля остатку при делении по алгоритму Евклида.

 

Пример

Найти (899; 493) = 29

899│ 493

493 1

493│ 406

406 1

406│ 87

348 4

87│ 58

58 1

58│ 29

58 2

Применение теоремы о делении с остатком.

Множество целых чисел можно разбить на классы, в зависимости от остатков при делении целых чисел на некоторое данное натуральное число. Вообще при делении на число b могут быть остатки:

0, 1,2,3…, b-1.

Пример

Докажите, что ни при каком целом n число n² +1 не делится на 3.

Разобьем множество целых чисел на классы, в зависимости от остатков при делении на 3.

Если число имеет вид 3к, то n² +1= 9k² +1 – не делится на 3.

Если число имеет вид 3к + 1, то n² +1= 9k² + 6k +2 – не делится на 3.

Если число имеет вид 3к + 2, то n² +1= 9k² + 12k +5 – не делится на 3.

Таким образом, число n² +1 не делится на 3.

Литература

1.Ананченко К.О. Алгебра – 8 - Мн.,2002

2. Рогановский Н.М., Рогановская Е. Н. Элементарная математика- Мн., 2000

 

 

Числовые неравенства и их свойства. Доказательство неравенств.

 

План

1. Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств.

2. Методы доказательства неравенств.

 

 

Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств.

 

Для любых неравных действительных чисел a и b можно сказать, какое из них больше, а какое меньше.

Говорят, что число a больше числа b, и пишут a>b, если разность a-b --положительное число; если же разность a-b – отрицательное число, то говорят, что число a меньше числа b и пишут a<b.

Для любых данных действительных чисел a и b имеет место одно из отношений: a=b, a<b, a>b.

Верность некоторых числовых неравенств не всегда очевидна. Например, имеет ли место неравенство не очевидно. В таких случаях неравенства нужно доказывать. При этом важную роль играют утверждения, которые непосредственно следуют из определений сравнения действительных чисел и действия вычитания:

1. Два действительных числа a и b равны тогда и только тогда, когда их разность равна 0, т.е. a-b=0.

2. Число a больше числа b (a>b) тогда и только тогда, когда разность a-b положительна, т.е. a-b>0.

3. Число a меньше числа b (a<b) тогда и только тогда, когда разность a-b отрицательна, т. е. a-b<0.

Перечислим свойства числовых неравенств, которые принято считать основными в школьном курсе математики:

1. Если a>b, то b<a.

2. Если a>b и b>c, то a>c (свойство транзитивности).

3. Если a>b, то a=b+h, где h>0,и наоборот, если a=b+h,где h>0, то a>b.

4. Если a>b и c – действительное число, то a+c>b+c.

5. Если a>b и c>d, то a+c>b+d.

6. Если a>b и c>0, то ac>bc.

7. Если a>b и c<0, то ac<bc.

8. Если a>b>0 и c>d>0, то ac>bd

 

Аналогично можно сформулировать свойства для отношений «меньше», «меньше или равно», «больше или равно».

 

Перечисленные свойства числовых неравенств легко доказать с помощью определения.

 

 

Методы доказательства неравенств.

Доказать неравенство – это значит установить его справедливость для всех возможных или специально указанных значений переменных. Универсального метода доказательства неравенств нет. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся методы.