Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теоретическое обоснование методов функционального подхода.
К сожалению, изучению функционального и графического метода (свойства функций, заданных в постановке задачи, решения уравнений, неравенств и систем) в программе общеобразовательной школы уделяется незаслуженно мало внимания. Функциональный метод решения задач во многих случаях является более удобным и кратким, нежели алгебраический. И хотя в экзаменационных заданиях крайне редко требуется графическое представление решения, умение строить графики функций, уравнений и изображать на координатной плоскости подмножества может оказаться чрезвычайно полезным, особенно при выполнении тестов, когда время ограничено и значение имеет не способ решения, а только ответ. Например, умение строить графики функций, уравнений, изображать на координатной плоскости множества решений неравенств часто позволяет избежать громоздких решений многих сложных систем, уравнений и неравенств, например содержащих модули. Такой подход значительно ускоряет нахождение ответа. Незаменимыми оказываются эти методы и при решении задач с параметрами. Незаменимы построения на координатной плоскости хОу и при решении задач с параметрами. Например, если стоит задача указать количество решений уравнения f(x)=g(a) (1) в зависимости от значения параметра а и легко построить график функции у = g(х) ‚то, учитывая, что у = g (а) — это семейство прямых параллельных оси Ох, а с геометрической точки зрения решения уравнения (1) при фиксированном значении а0 - это абсциссы точек пересечения графиков, обычно легко записать ответ. Аналогичный подход можно реализовать и в более сложных случаях, а также и при решении так называемых (нестандартных задач). Основные теоремы, необходимые для решения уравнений, основанных на ограниченности функций Основная идея метода мажорант состоит в использовании следующих утверждений. Теорема 1. Если для всех х Î Х справедливы неравенства f(х) > А и g(х) <А, где А - некоторое число, то на множестве Х уравнение f (х) = g (х) и неравенство f(х) < g(х) решений не имеют, а неравенство f(х)>g(х) выполняется для всех х Î Х Теорема 2. Если для всех хÎ Х справедливы неравенства f (х) ≥А и g(х)≤А, где А - некоторое число, то на множестве Х уравнение f (х) = g (х) и неравенство f (х) ≤g (х) равносильны системе уравнений
а неравенство f (х) ≥ g (х) выполняется для всех х Î Х. Отметим, что в качестве множества Х часто принимается общая область определения функций у = f (х) и у = g (х).
Основные теоремы, необходимые для решения уравнений, основанных на ограниченности функций
Теорема 1. Если f (х) — возрастающая на множестве М функция, g (х) - убывающая на множестве М функция и уравнение f(х) = g(х) имеет на множестве М решение х0, то это решение - единственное на множестве М. Доказательство. Так как х0 - корень, то f(х0)=g(х0). Если х<х0, то f(х)<f(х0) поскольку f (х) - возрастающая функция, а g(х)> g(х0) в силу того, что она является убывающей. Значит, f(х) < g(х), и на множестве х<х0 уравнение f (х)= g (х) не имеет решений. Если х>х0, то f(х)>f(х0), а g(х)< g(х0), поскольку f, g - монотонные функции. Следовательно, f(х)>g(х) и уравнение f(х)=g(х) не имеет решений на множестве х> х0. Итак, х0 - единственный корень.
Следствие. Если f(х) - возрастающая на множестве М функция, g (х) - убывающая и уравнение f(х)=g(х) имеет на множестве М решение х0, то решением неравенства f(х) > g (х) являются все хÎМ такие, что х>х0, а решением неравенства f (х)< g(x) - все х Î М такие, что х< х0.
Теорема 2. Если f (х) - возрастающая (убывающая) на множестве М функция, то уравнение f(х)=С, где С - некоторое действительное число, имеет не более одного решения на множестве М.
Теорема 3. Если f(х) - возрастающая (убывающая), непрерывная функция на отрезке [a, b], то f (х) принимает все значения между f (а) и f (b), причем каждое из них лишь при одном x Î [a;b]. Следствие. Если f(х) возрастающая (убывающая), непрерывная функция на отрезке [a;b] и f(a)f(b)<0, то существует, причем единственное, решение уравнения f (х)=0 на (а;b).
Теорема 4. Если f(х) - возрастающая (убывающая) функция, определенная на всей числовой прямой, то уравнения f(g(х)) = f(h(х)) и g(х)=h(х) - равносильны.
Монотонность в условии теоремы 4 нужна, чтобы не происходило потери корней при переходе к уравнению g(х)= h(х). А функция f должна быть определена на всей числовой прямой, чтобы не было приобретения корней при переходе к уравнению g(х)= h(х). Даже если f(х) определена не при всех х ÎR, то посторонние корни, которые могут появиться при переходе к уравнению-следствию g(х)= h(х), затем обычно легко отсеять проверкой.
Замечание 1. Если f (х) - возрастающая (убывающая) функция на ОДЗ переменной уравнения f(g(х))= f(h(х)), то последнее уравнение равносильно уравнению g(х)= h(х) на множестве допустимых значений переменной х.
Замечание 2. Если f (х) является четной и возрастает (убывает) при х≥0, то f(g(х))= f(h(х)) на ОДЗ переменной х. Теорема 5. Если f (х) - возрастающая на множестве М функция и при любом х Î М значение функции принадлежит М, то уравнения f(f(х))=х и f(х)=х равносильны. Доказательство. Пусть х0 - корень уравнения f(х)=х, т. е. f (х0)=х0. Докажем, что х0 является корнем уравнения f (f (х0)=х. Так как f(f(х0)= f(х0)=х, то f(f(х0)=х0, а это значит, что х0 - корень уравнения f(f(х)= = х. Докажем обратное. Пусть х0 - корень первого уравнения, т. е. выполнено равенство f(f(х0)= х0. Предположим, что х0 не является корнем второго уравнения. Пусть для определенности f(х0)< х0 Тогда, т. к. f(х) возрастает, получаем f(f(х0)< f (х0)< х0, что противоречит тому, что f(f(х0)= х0. Аналогично проводится рассуждение, если f(х0)> х0, и тоже приходим к противоречию. То есть методом от противного доказали, что f(х0)= х0.
Следствие 1. Если f (х) - возрастающая на множестве М функция, то f(f(f(.. ff(х)))...)=х f(х) =х.
Следствие 2. Если f(х) возрастает на своей области определения, то f(х)=х f(f(f(.. ff(х)))...)=х. Замечание 1. Если функция f (х) не является возрастающей, то уравнения f (f (х))=х и f (х)=х не равносильны. В этом случае f (f (х))=х f(х)=х, т. е. все корни уравнения f(х) = х являются корнями уравнения f(f(х))=х.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 398; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.69.45 (0.009 с.) |