Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Симметричности и четности функций
Пример 1. Решить уравнение . (4)
Решение. Внешний вид уравнения подсказывает, что одним из корней является число х1 = . Воспользуемся тем, что х2-х+1= . Перепишем уравнение (4) в виде . Тогда видно, что х2=1- х1=1- - корень исходного уравнения, поскольку . Покажем, что если х1 (х1¹0, х1¹1) является корнем уравнения (4), то х3= также есть корень этого уравнения. Это действительно так, потому что . Таким образом, если х1 (х1¹0, х1¹1) – корень уравнения (4), то корнями уравнения также являются , 1-х1, , 1- , , т. е. уравнение (4) имеет корни х1= , х2=1- , х3= , х4= , х5=1- , х6= . Так как исходное уравнение есть алгебраическое уравнение шестой степени, то оно имеет не более шести корней. Следовательно, найдены все корни уравнения (4). Ответ: .
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение x2-2asin(cosx)+2=0 (5) имеет единственное решение? Решение. Так как у = х2 и у = соs х - четные функции, то если существует некоторое х0 — решение исходного уравнения, то (-х0) - также является его решением. Значит, условие х0=-х, откуда х0=0, является необходимым условием существования у исходного уравнения единственного корня. Так как х0=0 является решением, то, подставляя это значение в (5), получим -2asin(1)+2=0 a= . Осталось убедиться, что при этом значении а исходное уравнение действительно имеет лишь один корень. Запишем (5) в виде x2- sin(cosx)+2=0 (x2+2) sin1=2sin(cosx). Заметим, что (x2+2)sin1≥2sin1, а 2sin(cosx)≤ 2sin1, следовательно, х = 0 является единственным корнем уравнения при данном значении параметра. Ответ: a = .
Пример З. При каких значениях параметра а уравнение (6) имеет нечетное число корней? Решение. Рассмотрим функцию f(х)= . Так как f(-x)= f(x), то f(x) является четной функцией. Следовательно, если некоторое значение переменной х0 является корнем уравнения (6), то (-х0) - также его корень. Следовательно, если уравнение (6) имеет решения, то имеет четное число корней, кроме случая, когда х=0 является одним из корней, т. е. выполняется равенство│2а│=а2 + 1, откуда а =±1. При каждом из этих значений параметра уравнение (6) действительно имеет по крайней мере корень х =0, поэтому проверять, есть ли еще решения и каковы они, нет необходимости. Ответ: а=±1. Пример 4. При каких значениях параметра а система уравнений (7) имеет единственное решение, удовлетворяющее ограничению
х Î [-6; 0]? Решение. Рассмотрим функцию f(у) = (3-2 )y+(3+ )y, стоящую в левой части первого уравнения системы (7). Так как (3+ )y=(3+2 )y= , то функция f(у) является четной. Следовательно, если некоторая пара (х0;y0) является решением исходной системы, то (х0;-y0) также является решением. Следовательно, для того чтобы система (7) имела единственное решение, необходимо, чтобы у0 =0. При этом условии система принимает вид (8) Из второго уравнения имеем х =0 при любом а либо х Î R при а2 -5а+6=0 В первом случае первое уравнение в (8) примет вид 2-За=5, откуда а=-1. Во втором случае а=2 или а=З. Если а = 2, то из первого уравнения находим х = -З, и это значение удовлетворяет условию хÎ[-6; 0]. Если же а=3, то у первого уравнения нет решений. Ответ: а = -1; а= 2. Пример 5. При каких значениях параметра а система уравнений имеет четыре решения? (9) Решение. Преобразуем второе уравнение исходной системы, выделив полные квадраты (7у)2 + (х-1)2 + 4а = 0. Следовательно, функции в системе симметричны по переменной х относительно значения х =1 и четные по переменной у. Значит, если пара (х0; у0) - решение системы, то также решениями являются (х0; -у0), (2-х0; у0), (2-х0; -у0). Кроме того заметим, что если сделать замену переменных v = 7 и u = , то получим систему (10) которая является симметричной относительно u, v, т. е. вместе с любой парой (u; v), где u >0, v >0, решением является и пара (v; u). Следовательно, исходная система если имеет, то имеет не менее восьми решений, кроме трех случаев: 1) u= v, 2) u = 0, З) v =0. А тогда, если u= v, то а =- , в случае u = 0 имеем а =- , а если v =0, то а = - . Осталось проверить каждое из найденных значений а и удостовериться, что система (10) действительно имеет два решения, а значит, система (9) имеет четыре решения. Ответ: а =- ,а =- . Пример 6. При каких значениях параметра а система уравнений (11) имеет единственное решение? Решение. Выделим в каждом из уравнений данной системы полные квадраты (11)
Теперь видно, что система (11) «симметрична» относительно х-1 и у+2 т. е. если сделать замену переменных u = х-1, v = у+2 и некоторая пара (u0;v0) является решением, то (v0; u0) - также решение. Следовательно, необходимым условием существования единственного решения у системы (11) является равенство u0=v0, откуда х = у + 3. Подставляя это выражение во второе уравнение (11), получаем
2ау2+ 8ау-у-3+10а+1=0 2ау2+ у(8а-1)+10а-2=0. Это уравнение имеет единственное решение либо если оно является линейным (т. е. а =0), либо если оно квадратное и D=(8a-1)2-4*2a*(10a-2)=1- -16a2=0, т. е. при условии а = . Подставляя найденные значения параметра а в систему (11), убеждаемся, что при каждом из них она действительно имеет единственное решение. Ответ: - ; 0; . Пример 7. При каких значениях параметра а система (12) имеет единственное решение? Решение. Первое и третье уравнения исходной системы являются симметричными относительно переменных х н у. Однако из внешнего вида второго уравнения в (12) такой вывод сделать нельзя. Выделим в нем полный квадрат относительно х х2-2х+(у-1)2+z=a (x-1)2+(y-1)2+z2=a+1. Теперь видно, что если некоторая тройка (х0; у0; z0) является решением системы (12), то и тройка (у0; х0; z0) - также решение системы. Следовательно, решение будет единственным только тогда, если выполнено условие х0 = у0. Тогда исходная система примет вид (13) Из первого уравнения следует, что siп2х=0, но это уравнение имеет бесконечно много решений. Однако ОДЗ переменной х системы определяется неравенством 1-х2>0, т. е. х Î (-1; 1), значит, в ОДЗ переменной лежит лишь решение х =0. Итак, имеем условие х = у =0 и, подставляя в (13), получаем систему Относительно переменной z: (14) Если некоторое z0 – решение системы (14), то (-z0) – также решение. Следовательно, условие z=0 – еще одно необходимое условие существования единственного решения у системы (12), откуда получается а=1. При таком значении параметра исходная система приобретает вид Преобразуем второе уравнение к виду х2 + у2 +z2-2х-2y=0 и подставим выражение х + у =-sin2z из третьего уравнения. Тогда имеем уравнение х2 + у2 +z2+2sin2z=0 x=y=z=0. То есть тройка (0; 0; 0) действительно является единственным решением системы (12) при а = 1. Ответ: а =1.
Пример 8. При каких значениях параметра а системы уравнений (15) и (16) равносильны?
Решение. Система (15) является линейной. Она не имеет решений, если выполнены соотношения , т. е. при а=-2. Подставим это значение в (16). Имеем Вычитая из второго уравнения первое, имеем х2-7х+у4+у2+21=0 Это уравнение и, следовательно, (16) не имеют решений. Итак, при а=-2 обе системы не имеют решений, а значит, равносильны. Пусть теперь а а¹-2. Тогда линейная система (15) имеет единственное решение при любом значении параметра. Значит, необходимым условием равносильности систем (15) и (16) является то, что система (16) имеет единственное решение. Но если пара (х0; у0) является решением (16), то пара (х0;-у0) тоже будет ее решением. Поэтому необходимым условием существования единственного решения является у0 = -у откуда у0 =0. Подставляя у=0 в (16), получаем систему для нахождения х и а: (17) Из первого уравнения находим х1 = 1 или х2 =3, тогда, подставляя эти значения во второе уравнение системы (17), находим а = 1 или а =3, и а =±1. Осталось проверить каждое из найденных значений. При а = 1 значения х = 1, у = 0 являются решением (15), но у (16) есть еще одно решение - х = 3, у = 0, и эти значения не являются решением (15). При а =3 значения х = 1, у = 0 не являются решением (15). При а =-1 значения х = 3, у =0 являются решением (15), и т. к. второе уравнение в (16) примет вид у2=-2(х-3) то (16) тоже имеет единственное решение - х = 3, у = 0.
Ответ: а=-2; а =-1. Литература 1. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач./И.Ф. Шарыгин., 1991. 2. Пирютко О.Н.Формирование обобщенных приемов познавательной деятельности. /О.Н. Пирютко Народная Асвета» №9, 2008, стр. 32- 40. 3. Азаров А.И., Булатов В.И. и др. Математика. Пособие для подготовки к экзамену и централизованному тестированию. – Мн., 2004.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 425; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.142.119.241 (0.025 с.) |