Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Целые числа. Делимость целых чисел. Признаки делимости
План 1. Множество целых чисел. Свойства и операции. 2. Теоремы о делимости. 3. Деление с остатком.
Множество целых чисел – это натуральные, им противоположные и ноль. Свойства целых чисел (Z). 1. Множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения: это значит, что результат указанных операций над целыми числами так же принадлежит множеству целых чисел. 2. Дискретно: для любого целого числа можно указать следующее за ним, между двумя соседними целыми числами нет целого числа. 3. Упорядоченно: для любых целых чисел можно установить отношение порядка (a>b, a<b, a=b). Свойства операций с целыми числами
1. a + b = b + a (коммутативный закон сложения) 2. (a + b) +с = a + (b +c) (ассоциативный закон сложения) 3. a - a = 0 4. a + 0 = a 5. a b = b a (коммутативный закон умножения) 6. (a b) с = a (b c) (ассоциативный закон умножения) 7. (a + b) с = a с + b c (дистрибутивный закон умножения относительно сложения) 8. 1·a = a Определение Если a: b = с , то a называется кратным b, а b – делителем числа a. Теорема о единственности разложения натурального числа на простые множители.(Основная теорема арифметики). Существует и при том единственное разложение всякого натурального числа (кроме 1) на простые множители. Представление натурального числа в виде n = , где p1, p2, p3, … pn – простые числа, называется каноническим разложением натурального числа на простые множители. Например, 36 = 3222, 195=31·51·131. Задача Сколько всего делителей имеет натуральное число, если его каноническое разложение имеет вид n = ? Пример 60 = 223151
Его делители 1, 2, 3,4, 5, 6, 10, 12,15,20, 30, 60 – всего 12. Как подсчитать число делителей, не перечисляя их? Число вариантов(способов) вхождения в делители данного числа делителя с основанием 2 всего три: 1- совсем нет такого делителя, 2- 21 3- 22 Число вариантов(способов) вхождения делителя с основанием 3 всего 2 1- совсем нет такого делителя, 2- 31. Число вариантов(способов) вхождения делителя с основанием 5 всего 2 1- совсем нет такого делителя, 2- 51. Каждый из первых трех вариантов можно объединить с каждым из двух вторых, всего получится 3·2=6. Каждый из этих 6 вариантов можно объединить с любым из двух способов вхождения числа 5 в делители данного числа, всего получится 3·2·2= 12.
Аналогичное этому доказательство в общем виде приводит к результату: Количество всевозможных делителей числа n = равно (α1+1)(α2+1) (α3+1)…(αn+1).
Теорема о бесконечности ряда простых чисел Не существует наибольшего простого числа. Доказательство Предположим, что p – наибольшее простое число. Рассмотрим число 2·3·5·…· p + 1- это число либо само простое, большее p, либо делится на простое число, не содержащееся среди чисел 2, 3, 5, …,p, а следовательно, большее p. Получили противоречие, доказывающее теорему.
Связь между НОД и НОК. О бозначим НОД(а; b) = d, НОК(a;b) = m.
Так как НОД(а; b) = d, то a = a1d, b = b1d, (a1;b1)=1.
Так как НОK(а; b) = m, то m = a1·d· b1, тогда а·b = a1·d· b1·d = m d. Таким образом, НОД(а;b) ·НОК(a;b) = ab.
Теоремы о делимости 1.Если a: m, b: m, то (a +b): m, (a -b): m.
2. Если a: m, b: n, то a b: mn. 3. Если a: m, an: mn. 4. Если сумма нескольких слагаемых делится на m и известно, что все слагаемые, кроме одного, делятся на m, то и оставшееся слагаемое делится на m. 5. Если хотя бы один из множителей произведения делится на m, то и произведение делится на m.
Пример Докажите, что произведение n(n+1)(n+2) делится на 6 при любом натуральном n. Доказательство Если n – нечетное, то n +1 – четное, следовательно, произведение делится на 2. Если n – не кратно 3 (значит при делении на 3 дает остаток 1 или 2), то n +2 или n + 1 кратно 3. Таким образом, произведение n(n+1)(n+2) делится на 2 и на 3, а так как эти числа взаимно простые, то оно делится на 6.
Признаки делимости 1.Для того, чтобы натуральное число делилось на 3(9) необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр этого числа делилась на 3(9). 2. Для того, чтобы натуральное число делилось на 11 необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой цифр этого числа стоящих на четных местах и суммой цифр этого числа стоящих на нечетных местах делилась на 11. 3. Для того, чтобы натуральное число делилось на 4 необходимо и достаточно, чтобы число, образованное двумя последними цифрами этого числа делилось на 4. Докажем 2. p= an10n + an-110n-1 + an-210n-2 +…..+ a1101+ a0 = an (11-1)n + an-1 (11-1)n-1 + an-2 (11-1)n-2 +…..+ a1 (11-1)1+ a0 = 11K + (an (-1)n + an-1 (-1)n-1 + an-2 (-1)n-2 +…..+ a1 (-1)1+ a0).
Если число p делится на 11, то второе слагаемое (an (-1)n + an-1 (-1)n-1 + an-2 (-1)n-2 +…..+ a1 (-1)1+ a0) суммы делится на 11 и обратно: для того, чтобы число p делилось на 11, достаточно, чтобы это слагаемое делилось на 11. Второе слагаемое суммы в зависимости от четности или нечетности n равняется (an - an-1 + an-2 -…..-a1 + a0) или (-an+an-1 - an-2 +…..-a1 + a0), т.е. представляет собой разность между суммой цифр этого числа, стоящих на четных местах и суммой цифр этого числа, стоящих на нечетных местах. 4. Если число делится на 1001, то оно делится на 7, 11, 13.
Деление с остатком
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 1220; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.192.247.185 (0.023 с.) |