Графические приёмы решения задач с параметрами.

В зависимости от того, какая роль в задаче отводится параметру (неравноправная или равноправная с переменной), можно соответственно выделить два графических приёма: первый – построение графического образа на координатной плоскости , второй – на плоскости .

Строят образ, результат «считывают» с картинки. Конечно, полученный таким образом результат, не подкреплённый аналитическим решением, нельзя считать «строгим» решением. В случае, когда результат, «считанный с картинки» вызывает сомнение, следует подкрепить решение аналитически.

Рассмотрим несколько примеров с использованием плоскости .

 

Пример 3. Для каждого значения параметра а определить число решений уравнения .

Решение: В системе координат строим графики и , где .

 

_y

 

y=a

 

₄

y=|x²-2x-3|

 

_{- 1 0 2 3 x}

 

Используя полученный рисунок, получаем результат:

1) если , уравнение корней не имеет;

2) если , уравнение имеет четыре корня;

3) если , то уравнение имеет три корня;

4) если , то уравнение имеет два корня.

Функционально-графический подход.

Можно рассматривать параметр как равноправную переменную, а не как фиксированное, но неизвестное число. Такой подход позволяет в максимальной степени геометризировать алгебраические задачи и свести весь поиск их решения к умению строить график уравнения с двумя переменными и на его основе исследовать решения этого уравнения и соответствующих ему неравенств.

Пример 4. Решить уравнение

Решение: В системе координат строим график уравнения и сразу считываем результат:

 

 

a=x+5 _A a=-x-5

x=a-5 ₅ x=5-a

 

 

 

_{-5 -5 5 x} a=x-5, x=a=5

a=-x-5

x=-5=-a

 

1) если , то уравнение корней не имеет;

2) если , то ;

3) если , то ;

4) если , то

5) если , то .

 

Решение неравенств с параметрами.

 

При решении неравенств с параметрами используются те же подходы, что и при решении уравнений.

Рассмотрим несколько примеров.

 

Пример 5. При каких значениях параметра а неравенство имеет хотя бы одно отрицательное решение?

 

Решение: Строим график соответствующего уравнения в системе координат .

 

a

 

 

 

-3

 

 

 

 

x

 

-3

-3,25

 

Хотя бы одно отрицательное решение неравенство имеет если .

 

Пример 6. Решить неравенство .

 

Решение: Строим график неравенства в системе .

 

a

a=(5+x)/2

x=2a-5

 

_{-1 1} x

 

 

 

 

 

a=(x-5)/2

x=2a+5

 

 

Получаем:

1) если , то решений нет;

2) если , то ;

3) если , то ;

4) если , то .

Литература

1. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач./И.Ф. Шарыгин., 1991.

2. Пирютко О.Н.Формирование обобщенных приемов познавательной деятельности. /О.Н. Пирютко Народная Асвета» №9, 2008, стр. 32- 40.

3. Азаров А.И., Булатов В.И. и др. Математика. Пособие для подготовки к экзамену и централизованному тестированию. – Мн., 2004.