Основные теоремы, необходимые для решения уравнений, основанных на симметричности и четности функций

 

Рассмотрим уравнение с параметром

f (х, а) =0. (1)

В случае, когда функция f является четной относительно переменной х и если известен корень х₀ уравнения (1), то –х₀ также является корнем этого уравнения. Следовательно, если стоит задача: «При каких значениях параметра а уравнение (1) имеет единственный корень?», либо «При каких значениях параметра а у уравнения (1) есть нечетное число корней?», то искомыми значениями могут быть только те значения параметра а, при которых значение х₀ =- х₀ =0 является корнем уравнения (1). Это условие является необходимым, но не достаточным для ответа на подобный вопрос. Однако в большинстве задач существует лишь несколько конкретных значений параметров, при которых нуль является корнем. В дальнейшем решении останется лишь проверить каждое из найденных значений параметров.

Аналогичные рассуждения позволяют получить необходимые условия и в некоторых системах с параметрами.

Рассмотрим уравнение

f (х)=0 (2)

В случае, когда функция f (х) является симметричной относительно (т. е. после замены у = функция не меняется), то при наличии у уравнения корня х₀¹0 корнем является также .

Если в (2) график у=f (х) симметричен относительно прямой х=а (рис.) и известен корень х₀ уравнения (2), то значение х=х , расположенное симметрично относительно а, также является корнем уравнения (т. е. х₀-а=а-х₁, откуда х₁=2а-х₀). Это значит, что в уравнении (2) можно осуществить замену переменной у=х-а и функция f(у) будет являться четной.

Система задач на применение функционального подхода к решению уравнений и неравенств

Решение уравнений, основанные

На ограниченности функций

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Оценим правую часть уравнения

= .

Но значение выражения в левой части исходного уравнения:

. Таким образом, т. к. левая часть строго меньше , а правая – больше или равна , исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: Æ.

Пример 2. Имеет ли корни уравнение ?

Решение. Запишем данное уравнение в виде . Рассмотрим функцию f(x) = . Так как f(x) = , а правая часть преобразованного уравнения отрицательна, то исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: не имеет.

 

Пример 3. Найти все значения параметра а при которых уравнение 3х⁴ – 4х³ +12х² +а =0 имеет корни?

 

Решение. Рассмотрим функцию f(x) = 3х⁴ – 4х³ +12х². Выделим полный квадрат

f(x) = х^{2 .}

Следовательно, функция f(x) принимает все значения из множества . Значит, уравнение 3х⁴ – 4х³ +12х² = -а имеет корни лишь при а .

Ответ: а .

Пример 4. Решить уравнение sin(px) = x² + x +1.

Решение. Оценим правую часть уравнения x² + x +1 = , но такая оценка не позволяет сделать заключение о том, что уравнение не имеет решений. Так как sin(px) ≤ 1, то решим неравенство x² + x +1 ≤ 1, откуда

х Î [-1; 0]. Таким образом, мы можем утверждать, что на интервалах

х Î (- ; -1) Ç (0; + ) уравнение решений не имеет, так как x² + x +1 > 1, а sin(px) ≤ 0, а x² + x +1>0, следовательно, на отрезке х Î [-1; 0] уравнение решений не имеет.

Ответ: Æ.

 

Как видно из решения примера 4, в некоторых задачах для получения результата нужно рассматриваемую область разбивать на подмножества и на каждом подмножестве заданные функции оценивать разными способами. Определить эти подмножества и соответствующие оценки часто помогают графики функций, входящих в задачу.

 

Пример 5. Решить уравнение . (1)

 

Решение. Оценим левую и правую части уравнения. Так как , то и , т. к. sin(2px) ≤ 5+4 = 9. Таким образом, равенство в (1) возможно только, если выполняется система

решением которой является х = .

Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение cos⁵x – sin¹⁰x = 1.

 

Решение. Преобразуем исходное уравнение следующим образом:

cos⁵x=sin¹⁰x+1. Выражение, находящееся в левой части полученного уравнения, принимает значения от -1 до 1 включительно, а выражение в правой части - 1+0 ≤ 1+ sin¹⁰x ≤ 1+1, т. е. больше или равно 1. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений

Ответ: 2pn, nÎZ.

Пример 7. Решить уравнение cos⁵x = 1- sin¹⁰x.

 

Решение. Воспользоваться методом, использованным в предыдущем примере нельзя, т. к. 1-1 ≤ 1- sin¹⁰x ≤ 1-0. Преобразуем исходное уравнение следующим образом:

cos⁵x = sin²x + cos²x- sin¹⁰x cos⁵x - cos²x = sin²x- sin¹⁰x

cos²x (cos³x-1) =sin²x(1-sin⁸x).

Левая часть последнего уравнения всегда меньше или равна 0, а правая - больше или равна 0, следовательно, равенство возможно только, если

Решая эти системы, получим окончательный ответ.

Ответ: .

Пример 8. Решить уравнение .

 

Решение. ОДЗ переменной, входящей в это уравнение, определяется условиями х³+2 0 и х³-2 0 т. е. состоит из всех х, принадлежащих промежутку . Для всех таких х выражение , а выражение . Таким образом, исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: Æ.

Пример 9. Решить уравнение .

 

Решение. Найдем ОДЗ переменной, входящей в исходное уравнение:

.

Найдем область значений левой и правой частей уравнения:

;

< < .

Так как множества значений левой и правой частей уравнения не пересекаются, то уравнение решений не имеет.

Ответ: Æ.

 

Пример 10. Решить уравнение 5х² +5у² +8ху+2х-2у+2=0. (2)

Решение. Выделим полные квадраты в левой части уравнения (2)

х² +2х+1+у² -2у+1+4(х²+у² +2ху) = 0 (х+1)²+(у-1)²+4(х+у)²=0.

Так как каждое из слагаемых в полученном уравнении неотрицательно, то исходное уравнение имеет решение только, если

Ответ: {-1; 1}.

 

Пример 11. Решить уравнение .

 

Решение. Выделим в уравнении полный квадрат относительно и Имеем:

Сумма двух неотрицательных величин равна нулю, только если каждая величина равна нулю. Следовательно, и , откуда х=11; у=5

Ответ: {11; 5}.

 

Решения уравнений, основанные на монотонности функций

 

Пример 1. Решить уравнение 2^х = -2х+4.

 

Решение. В подобных уравнениях, где слева и справа от знака равенства стоят функции совершенно разных «классов» (в данном случае линейная и показательная), обычно одним из методов решения является функциональный метод.

Значение х=1 является корнем данного уравнения, т. к. 2¹ =2= -2*1+4.

Слева в уравнении стоит возрастающая на R функция (как показательная функция с основанием, большим единицы), а справа — убывающая линейная функция, т. к. коэффициент при переменной отрицательный. Следовательно (по теореме 1), больше корней исходное уравнение не имеет.

Ответ: 1.

Пример 2. Решить уравнение 4^х+3^х =5^х.

 

Решение. Легко убедиться, что х =2 — корень исходного уравнения, т. к. числа 3, 4, 5 образуют пифагорову тройку. Однако утверждать, что он единственный, мы не можем, так в левой и правой частях исходного уравнения находятся возрастающие функции.

Преобразуем исходное уравнение к следующему равносильному уравнению

.

Функция f(x) = - убывает на R (т. к. основание показательной функции <1), а g(х) = — возрастает на R. Следовательно, по теореме 1, исходное уравнение имеет единственный корень х=2.

Ответ: 2.

 

Пример З. Решить уравнение .

Решение. Решить это уравнение возведением в степень или заменой переменных не представляется возможным (по крайней мере, на первый взгляд). Однако можно обойтись и без каких-либо преобразований. Заметим, что х=1 — корень данного уравнения. Левая часть уравнения представляет собой возрастающую на R функцию, поскольку является суммой двух возрастающих функций. Поэтому, используя теорему 2, утверждаем, что х=1-единственный корень.

Ответ: 1.

Отметим, что в примере З нет необходимости доказывать возрастание функций и т. к. это элементарные функции, рассматриваемые в курсе школьной математики.

 

Пример 4. Решить уравнение .

 

Решение. Функция f(x) = — возрастающая на всей числовой прямой. Функция g(х)= — убывающая при всех хÎR. Значит, -g(х)=- - возрастающая функция. Следовательно, f(x) +(-g(х)) - возрастающая функция и уравнение (равносильное исходному) имеет не более одного корня (теорема 2). Этот корень находим подбором: х=-1.

Ответ: -1.

Пример 5. Решить уравнение .

 

Решение. Обозначим t=log₃ х, тогда х =3^t, и исходное уравнение примет вид , откуда 1+()^t=2^t. Это уравнение имеет очевидный корень t =2. Разделив обе части уравнения почленно на ()^t, получим равносильное уравнение:

 

. Функция у = убывает на R, а функция у= возрастает на R (т. к. >1). Значит, по теореме 1, t=2 - единственный корень. Из уравнения log₃x=2 находим х=9 - единственный корень исходного уравнения.

Ответ: 9.

Пример 6. Привести пример убывающей функции f(x), для которой уравнение f(f(х)) = х не равносильно уравнению f(х)=х.

Решение. Рассмотрим функцию f(x) = . Уравнение f(х)=х, т. е. =х имеет ровно одно решение (обозначим его x₀) т. к. f(х) убывает на всей числовой оси, а, g(х)= х - возрастает.

Теперь рассмотрим уравнение f(f(х)) = х, т. е. = х. Решим это уравнение на множестве положительных чисел. Прологарифмируем обе части по основанию и получим равносильное уравнение

= .

Последнее уравнение имеет три корня: х = ; х = ; х =х₀. То есть х = и х = не являются корнями уравнения f(x) = х.

Ответ: f(x) = 16^-х.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение в виде

Введем в рассмотрение функцию f(t)= . Тогда исходное

уравнение можно переписать в следующем виде:

f(3x+1)=f(-x). (1)

Если мы докажем, что f(t) - монотонная функция на R, то по теореме 4 уравнение (1) равносильно уравнению 3х+1= -х 4x=-1 x=- , и это единственный корень исходного уравнения.

Вычислим f´(t)= .

Так как f´(t)>0 при любом tÎR, следовательно, f(t) возрастает на всей числовой оси. Итак, доказав, что f(t) монотонна, мы доказали, что х =- - единственный корень.

Ответ: - .

Пример 8. Решить уравнение .

Решение. Воспользуемся идеей, предложенной в примере 2. Разделим левую и правую части на 2^х ≠ 0. Тогда уравнение примет вид

. (2)

Так как <1, то функция в левой части уравнения (2) -убывающая при хÎR (показательная функция с основанием, меньшим 1). Так как <1‚ то - убывающая функция, а, следовательно, функция в правой части (2) является возрастающей на всей числовой прямой. По теореме 1 уравнение (2) имеет не более одного корня. Этот корень легко подбирается, и он равен 2.

Ответ: 2.

Пример 9. Решить уравнение log²₂x+(x-1)log₂x=6-2x.

Решение. Обозначим log₂x=у, тогда исходное уравнение преобразуется к виду y²+(x-1)y+(2x-6)=0. Последнее уравнение является квадратным относительно у. Найдем его дискриминант:

D =(x-1)²-4(2x-6) = x²-2x+1-8x+24 = x²-10x+25=(x-5)²

И корни у₁= ; y₂= .

Возвращаясь к переменной х, будем иметь совокупность двух уравнений

Первое легко решается и дает корень х =2^-2 = .

Второе уравнение решим следующим образом: очевидно, что х=2 - корень этого уравнения (log₂2=3-2). Этот корень единственный (теорема 1), т. к. функция, стоящая в левой части уравнения, возрастает на ОД3 переменной, а функция в правой части - убывает.

Ответ: ; 2.

Пример 10. Решить уравнение (x+1)4^х +(х-1)2^x+1 =8.

Решение. В левой части данного уравнения находятся достаточно сложные функции, которые не являются ни возрастающими, ни убывающими на всей числовой оси. Следовательно, не удастся использовать сразу теоремы, приведенные выше. Преобразуем уравнение. Аналогично предыдущей задаче введем замену у=2^х тогда имеем квадратное относительно у уравнение

(х + 1)у² + 2(х - 1)у - 8 = 0. Его дискриминант равен

=(х-1)² +8(х+1) =х²-2х+1+8х+8=х² +6х+9=(х+3)².

Тогда

y₁= ; y₂= ,

 

т. е. исходное уравнение можно записать в виде

 

Первое уравнение совокупности решений не имеет, а второе решаем, используя теорему 1. При х<-1 это уравнение не имеет решений, т. к. 2^x >0, а <0. Поскольку 2^x – возрастающая функция, а - убывающая на множестве х > -1, то х = 1 (этот корень легко найти подбором) является единственным корнем второго уравнения совокупности на множестве х >-1, а, значит, и исходного уравнения.

Ответ: 1.

Пример 11. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ переменной в этом уравнении является множество [1; 3]. На этом множестве функция у = возрастает, а функция у= убывает, значит, по теореме 1, исходное уравнение имеет единственный корень (если он есть). Подбором находим его, х = 2.

Ответ: 2.

Пример 12. Решить уравнение (х³ +2х+2)³ +2(х³ +2х+2)+2=х.

Решение. Введем в рассмотрение функцию f(х)=х³+2х+2 и заметим, что уравнение (3) имеет вид f(f(х))=х. Так как f'(х)=3x²+2>0 при всех х, то функция f(х) является возрастающей на всей числовой оси. Следовательно, по теореме 5, уравнение (3) равносильно уравнению f(х) =х, т. е. уравнению

х³ +2х+2=x (х³ +1)+(x+1)=0 (x+1)(x²-x+2)=0.

Ответ: -1.

Пример 13. Решить уравнение .

Решение. Рассмотрим функцию f(х)= . Тогда уравнение (3) можно представить в виде f(f(х))=х. Так как функция f(х) является возрастающей на своей области определения, то, по теореме 5, уравнение (3) равносильно уравнению =x . Ответ: .

Пример 14. Сколько корней на отрезке [-p; 0] в зависимости от значений параметра а имеет уравнение х² +а= соsх?

Решение. Рассмотрим функцию f(х)= соsх - х². Исходное уравнение примет вид f(х)=а. Исследуем f(х): f‘(х)=sinx-2x≥0 при хÎ[- p; 0], следовательно, f(х) возрастает на множестве [-p; 0] и, кроме того, является непрерывной. Используя теорему 3, можно утверждать, что она принимает все значения между f(-p)=соs(-p) - (-p)² =-1-p² и f(0)= соs 0-0²=1. Итак, если а принимает значения в пределах [-1-p²; 1], то исходное уравнение имеет корень, причем единственный. Если же а Î(- ; 1-p²)Ç(1; + ), то решений нет.

Ответ: один корень при аÎ [-1-p²; 1]; нет решений при аÎ(- ; 1-p²)Ç(1; + ).

Пример 15. Пусть f(х)=х²-2. Доказать, что уравнение f(f(f(х)))=х имеет восемь корней.

Решение. Рассмотрим отрезок хÎ[-2;2] и отметим, что f(-2)=2; f(2)=2; f(0)=-2. Нулями функции f(х)=х² -2 являются точки x= , т. е. f(- )=0, f()=0. Далее f(f(-2))=2, f(f(2))=2, f(f(0))=2 и f(f(- ))=-2, f(f())=-2. Нулями функции f(f(х))=(х²-2)²-2 являются точки х= , т.е. f(f(- ))=0, f(f(- ))=0, f(f())=0, f(f())=0.

Рассмотрим функцию g(х)=f(f(f(x)))-x на отрезках , , , .

На концах каждого из этих отрезков функция g(х) принимает значения разных знаков, следовательно, уравнение f(f(f(x)))=x имеет корень на каждом этом отрезке. Например, рассмотрим отрезок : g(-2)=f(f(f(-2)))+2=4>0, g()=f(f(f()))+ =-2+ <0. Аналогично рассматриваются другие отрезки. Таким образом, мы нашли восемь отрезков, на которых уравнение f(f(f(x)))=x имеет корни. Следовательно, уравнение f(f(f(x)))=x имеет как минимум восемь корней. Отметим, что функция g(х)=f(f(f(x)))-x является многочленом восьмой степени и более восьми корней уравнение g(х)=0 иметь не может.