Построение графиков сложных функций

Рассмотрим сложную функцию y= f [ φ (x)].

Здесь функция y зависит от аргумента x не непосредственно, а через промежуточную функцию φ (x). Обозначив φ (x) через u, получим y= f (u), где u = φ (x).

Часто промежуточную функцию u = φ (x) называют внутренней, а функцию y= f (u) – внешней.

Графики сложных функций можно строить, учитывая результаты общего исследования функции и используя свойства функций y = f (u) и u = φ (x). При этом надо иметь в виду, что выражение f [ φ (x)] будет иметь смысл для тех значений x, для которых имеет смысл выражение φ (x), и принимать такие значения u, для которых определено выражение f (u).

При построении графиков сложных функций следует учитывать основные свойства четных и нечетных функций, периодических функций, монотонных функций. Надо также найти значения сложной функции на концах интервалов монотонности или установить, как ведет себя функция в окрестности этих точек, если они (или одна из них) не принадлежат области определения.

Приведем другой способ построения графика сложной функции y= f [ φ (x)] (рис. 14). Обозначим через A, A₁, A₂, A₃, A₄ соответственно точки (x; 0), (x; φ (x)), (φ (x); φ (x)), (φ (x); f (φ (x))), (x; f (φ (x))).

Построение выполняем в таком порядке: строим графики функций y= f (x) и y = φ (x); проводим биссектрису первого и третьего координатных углов (y = x); проводим через точку A прямую, параллельную оси Оy, до пересечения с графиком функции y = φ (x) (получаем точку A₁); проводим через точку A₁ прямую, параллельную оси Oх, до пересечения с биссектрисой (получаем точку A₂); проводим через точку A₂ прямую, параллельную оси Oy, до пересечения с графиком y = f (x) (получаем точку A₃); проводим через точку A₃ прямую, параллельную оси Ох, до пересечения с продолжением отрезка A, A₁. Полученная в пересечении точка A₄ (x; f (φ (x))) и будет точкой графика функции y= f [ φ (x)]. Аналогично строятся и остальные точки графика.

Рис. 14

Пользуясь линейкой и циркулем, можно этот способ упростить. Через точку Р (х; 0) проводим перпендикуляр до пересечения с графиком y = φ (x). Получаем точку Q, причем PQ = φ (x). Далее, на оси абсцисс берем точку T с абсциссой ОТ = PQ. Проведя через точку T перпендикуляр до пересечения с графиком y= f (x) в точке S, получим TS = f (x). Проектируя затем точку S на перпендикуляр, проведенный через точку P, получаем точку М (x; f (φ (x))) (рис. 15).

Рис. 15

Замечание. График функции y= f [ φ (x)] можно построить еще и так: строим график функции u = φ (x), а затем, учитывая значения ординат этой функции и основные свойства функции y = f (u), выполняем построение графика заданной функции.

Применение графиков функций при решении задач

Школьной математики

 

Задачи с параметрами

В зависимости от того, какая роль отводится параметру в задаче (неравноправная или равноправная с переменной), можно соответственно выделить два основных графических приема: первый – построение графического образа на координатной плоскости (x; y), второй – на (x; a).

Задача 5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет решение.

Решение.

Переходя к логарифмам по основанию 5, получаем уравнение , которое равносильно уравнению (1), если выполняется условие (2). Выражая x из равенства (1) и подставляя в неравенство (2), получаем неравенство (3). Чтобы решить это неравенство, решим сначала уравнение .

Построим графики функций и (рис. 20). Тогда – есть решение этого уравнения. Так как мы решаем неравенство , видно, что график функции расположен выше графика функции на промежутке , тогда решение неравенства .

Рис. 16

Ответ: .

Задача 6. При каких значениях a система уравнений

не имеет решений?

Решение.

Система равносильна исходной.

На рис. 21 точка (3; 0) – центр поворота. Ясно, что если прямая семейства вращается внутри угла OMA, то система не имеет решений. Устанавливаем, что угловой коэффициент прямой MA равен . Тогда при таком повороте параметр a принимает все значения из промежутка (– ; 0]. Заметим, что мы включили a = 0, поскольку прямая MO не пересекает гиперболу.

Важно при записи ответа не упустить, что существует еще одна прямая семейства, а именно у = – х + 3, проходящая через «дырки» в гиперболе. Поэтому при а = –1 система также не имеет решений.

Рис. 17

Ответ: а = –1 или .

Задача 7. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение.

Рассмотрим функции у = ах и . График второй функции легко построить, рассмотрев уравнение (у – 1)² = 8х— х² — 15 при у ≥ 1. Преобразовав последнее к виду (у – 1)² + (х – 4)² = 1, получаем, что искомый график — полуокружность с центром (4; 1) и радиусом 1. На рис. 22 это дуга АВ. Все прямые у = ах, про­ходящие между лучами OA и ОВ пересекают дугу в одной точке. Также одну точку с ду­гой имеют прямая ОВ и касательная ОМ. Легко показать, что угловые коэффициенты прямых ОВ и OA соответствен­но равны и . Устанавливаем, что угловой коэффициент касательной ОМ равен , причем это можно сделать не обязательно при помощи производной. Действительно, потребо­вав от системы

иметь одно решение, получим а = .

Рис. 18

Итак, прямые семейства у = ах имеют с дугой АВ только одну общую точку при ≤ а < или а = .

Ответ: ≤ а < или а = .

Литература

1. Архипов Б.М., Мазаник А.А., Петровский Г.Н., Урбанович М.И. Элементарные функции – Мн: Вышэйшая школа, 1991.

2. Бахтина Т. П. «Таблетки» и «компрессы» при построении графиков. // Математика в школе. – 2004 – №8.

3. Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Шноль Э.Э. Функции и графики. – М.:МЦНМО, 2001.

4. Ершов Л.В., Райхмист Р.Б. Построение графиков функций – М.: Просвещение, 1984.