Відновлення економічної структури з розв'язку моделі економіки

В попередньому параграфі описано метод встановлення економічної структури суспільства (розподілу кількості громадян за розміром заощаджень) на основі відомих даних. Проте в дійсності такі дані зібрати неможливо, або складно, адже йдеться про опитування громадян. Проте, в суспільстві з великою часткою тіньової економіки люди переважно не бажають гласно повідомляти про свій майновий стан. Особливо це стосується найбагатших громадян, від поведінки яких залежить економічний стан суспільства. Тому дані опитування неточно відображають дійсність.

За таких умов для встановлення економічної структури суспільства доцільно застосувати методи математичного моделювання. Розглянемо математичну модель економічної структури суспільства, утворену лише підприємцями (без урахування робітників).

Вважатимемо, що один вид агрегованого продукту виробляють і споживають одні й ті ж громадяни, які є підприємцями та споживачами. Така умова відповідає обставинам під час виникнення товарного виробництва. Будемо вважати, що товар виробляють підприємців і споживачів, які також є підприємцями.

Кількість виробленого продукту описує виробнича функція , яка залежить від капіталозабезпечення виробництва на одне робоче місце на одиницю часу на одиницю вартості виробленого продукту . Кількість спожитого продукту описує функція споживання , яка залежить від купівельної спроможності підприємців.

Схематично описану економіку зображено на рисунку нижче. Встановимо правила поведінки (рівняння руху), які відповідають такій економіці.

Швидкість зміни заощаджень підприємців пропорційна різниці між їхнім доходом від збуту продукції та видатками на особисте споживання, на виробничі потреби, включаючи податок і накладні виробничі витрати .

, (4.1)

де ‑ кількість споживачів, ‑ кількість власників підприємств.

Швидкість зміни ціни пропорційна різниці між кількістю виробленого товару (пропозицією) і попитом на нього.

(4.2)

Рівняння (4.1), (4.2) описують базову модель економіки, в якій враховано динамічну зміну заощаджень підприємців і ціни . Система рівнянь (4.1), (4.2) з початковими умовами

становить задачу Коші, яка має єдиний розв'язок. Щоб знайти його достатньо застосувати числові методи.

Рівняння (4.1), (4.2) описують детерміновані співвідношення, які відповідають класичній (ньютонівській) «механіці». Так, рівняння (4.1) означає, що дохід і видатки підприємця є детермінованими, вони однозначно залежать від функцій та параметрів моделі. Проте, в дійсності заощадження учасників економіки змінюються випадково. Наприклад, підприємець може купити більше товару для особистих потреб, отримати неочікуваний дохід, або зазнати несподіваних виробничих витрат. Тому в розробленій моделі необхідно додатково врахувати випадкові доходи або видатки підприємців.

Запишемо в рівнянні (4.1) функцію, яка імітує випадкові доходи й витрати підприємця:

(4.3)

де ‑ випадкова функція з нульовим середнім значенням [[1]].

Рівняння (4.3) належить до рівнянь типу Ланжевена [[2]]. Це рівняння описує зміну заощаджень під впливом двох чинників – детермінованого (перший доданок) й випадкового (функція ). Властивості таких рівнянь добре вивчені.

Справа в рівнянні (4.3) записано випадкову функцію . Тобто, права сторона рівняння (4.3) є випадковою величиною. Тому його ліва сторона (швидкість зміни заощаджень), та інтеграл від неї (заощадження) також є випадковими величинами. Заощадження описує невідома густина ймовірності . Густина ймовірності описує шукану економічну структуру суспільства.

Додамо, що рівняння виду (4.3) важко розв'язувати з допомогою числових методів [[3]]. В статистичній фізиці відомий метод, як на основі рівняння Ланжевена (4.3), з невідомим , записати рівняння для невідомого розподілу . Таке рівняння відносно розподілу називають рівнянням Фокера-Планка-Колмогорова [[4]].

Рівняння Ланжевена (4.3) еквівалентне рівнянню типу Фокера-Планка-Колмогорова:

, (4.4)

де параметр називають коефіцієнтом дифузії. Його визначають на основі параметрів рівняння Ланжевена. Детальний опис переходу від рівняння Ланжевена до рівнянь Фокера-Планка-Колмогорова подано в [[5]].

Перший доданок рівняння (4.4) описує детермінований вплив на економічну структуру суспільства. За фізичною аналогією цей вплив пов'язують з дрейфом – переважаючим спрямованим рухом групи елементів. Другий доданок залежить лише від статистичних характеристик. Він описує випадковість, тому його пов'язують з дифузією – випадковим зміщенням елементів. Зауважимо, що рівняння (4.4) – це перші два доданки розкладу в ряд невідомого розподілу .

Важливою характеристикою рівняння (4.4) потенціал:

(4.5)

Потенціал описує сумарну розбіжність між попитом і пропозицією, при всіх фінансових спроможностях, починаючи від нульової до заданої . Потенціал необхідно відрізняти від однозвучного терміну «гуманітарної» економіки. Функцію також називають «потенціальною функцією», або «скалярними потенціалом», або «потенціалом динамічної системи» (4.4). Динамічна система (4.4) залежить від однієї змінної , тому функція описує «потенціал в одновимірному полі», заданому величиною заощаджень.

Стаціонарний розв'язок рівняння (4.4) відомий:

, (4.6)

де ‑ коефіцієнт нормування, вибраний з умови . Знайдений розв'язок рівняння (4.4) є шуканим розподілом кількості підприємців за заощадженнями. Тобто, розв'язок описує шукану структуру суспільства, і при тому розкриває властивості ринкової економіки на основі теоретичного математичного підходу до її вивчення.

Дальше розглянемо, як функцій впливають на формування економічної структури суспільства .

Питання до параграфу 4.2

Чому за експериментальними даними неможливо встановити економічну структуру суспільства? В чому полягає теоретичний метод встановлення економічної структури суспільства? Чому в базовій моделі для встановлення економічної структури суспільства взято до уваги лише підприємців? На чому ґрунтується рівняння динаміки заощаджень підприємців? На чому ґрунтується рівняння динаміки ціни? В чому перевага «класичної» базової моделі ринкової економіки? В чому обмеженість «класичної» базової моделі ринкової економіки? Як в рівнянні базової моделі ринкової економіки враховано випадкові доходи і витати підприємця? Чому функція, яка імітує випадкові доходи і витрати підприємця має нульове математичне сподівання? Як аналогічно змоделювати випадкові доходи і витрати робітників зі сталою зарплатою? Що називають рівнянням Ланжевена? Який зміст доданків рівняння Ланжевена в моделі ринкової економіки. На чому ґрунтується еквівалентність рівняння Ланжевена і рівняння Фокера-Поанка-Колмогрова? Що розуміється під цією «еквівалентністю»? Що описує рівняння Фокера-Планка-Колмогорова? Який зміст першого і другого доданків і рівнянні Фокера-Планка-Колмогорова? Що називають потенціалом динамічної системи? Який зміст потенціалу у фізиці? Який зміст потенціалу в моделі ринкової економіки? В чому розбіжність між потенціалом динамічної системи і терміном однозвучним економічними терміном? Який стаціонарний розв'язок рівняння Фокера-Планка-Колмогорова?