Свободные колебания диссипативной системы с одной степенью свободы

Рассмотрим линейную диссипативную систему, движение которой описывается дифференциальным уравнением относи­тельно обобщенной координаты

(4.4)

где — коэффициент диссипации, принимающий любые

значения;

Уравнение (4.4) может быть представлено в другом виде:

(4.5)

где — коэффициент демпфирования, — собственная

частота соответствующей консервативной системы:

Собственная частота демпфированной системы

Общее решение уравнения (4.5) имеет вид

где F и G — действительные постоянные величины.

При колебания системы носят периодический характер,

при затухают во времени, принарастают. Если

то затухание сопровождается колебаниями. При за-

тухание будет монотонным. Значение называют крити-

ческим.

Кроме используют безразмерные характеристики демп­фирования

При коэффициент поглощения представляет от-

ношение энергии, рассеянной за цикл колебаний, к полной энергии процесса.

Логарифмический декремент колебаний равен натураль­ному логарифму отношения двух последовательных максималь­ных значений обобщенной координаты:

Параметр называют относительным демпфированием. Критическому демпфированию соответствуют значения

Параметр называют коэффициентом затуха­ния.

Диссипативные характеристики механических систем

Диссипативные силы. При колебаниях происходит необра­тимое рассеяние энергии, вызываемое диссипативными сила­ми неупругого сопротивления. Их представляют в виде фун­кций скорости движения масс или скорости деформации эле­ментов системы (основные формы зависимости приведе­ны на рис. 4.6).

Рис. 4.6. Характеристики диссипативных сил при вязком трении (а), больших виброскоростях (б) и сухом трении (в): — параметры уравнений (4.6) — (4.8)

Вязкое трение, свойственное диссипативным силам, возни­кающим при малых колебаниях в вязкой среде (рис. 4.6, а), опи­сывается уравнением

(4.6)

где — постоянная величина.

При больших виброскоростях имеет место квадратичная за­висимость диссипативной силы от скорости (рис. 4.6, б):

(4.7)

где — постоянная величина.

Часто в конструкциях демпферов используют элементы су­хого трения (рис. 4.6, в) с характеристикой

(4.8)

где — сила сухого трения

Приведенные зависимости представимы единым уравнением

(4.9)

где — постоянные величины (при значениях равных 1, 2

и 0, имеем уравнения (4.6) —(4.8)).

Гистерезис. При циклическом деформировании упругодис-сипативного элемента (рис. 4.7) обнаруживается гистерезис — несовпадение линий нагрузки и разгрузки на диаграмме сила — перемещение (рис. 4.8).

Допустим, что характеристика элемента с линейной упругой со­ставляющей имеет вид

Площадь петли гистерезиса ха­рактеризует энергию рассеян­ную в течение цикла деформирования и равно работе диссипативных сил:

Рис. 4.8. Петли гистерезиса при циклическом деформировании упруго-диссипативного элемента в условиях вязкого трения (а), больших виброскоростей (б) и сухого трения (в):

—диссипативная сила

(4.10)

Петля гистерезиса такого элемента с линейно изменяющейся диссипативной силой в соответствии с уравнением (4.6) при де­формировании по закону имеет вид эллипса (рис. 4.8, а). Угол наклона его большой оси характеризует жесткость эле­мента Энергия, рассеянная за цикл, согласно уравне­нию (4.10)

(4.11)

Рассеянная энергия элемента, отвечающего зависимости (4.7), для которого петля гистерезиса приведена на рис. 4.8, б,

При наличии зависимости (4.8) рассеянная энергия элемен­та (рис. 4.8, в)

(4.13)

Рассеянная энергия элемента, характеризуемого зависимос­тью (4.9),

(4,14)

где

На значения влияет величина

Потери энергии на сухом трении больше внутренних потерь на порядок величины.

Коэффициент поглощения Величина (см. подразд. 4.3.2) равна отношению энергии, потерянной за цикл, к наибольшему значению потенциальной энергии П упругого элемента. При на­личии у элемента линейной упругой характеристики и коэффициент поглощения

Согласно уравнениям (4.11) —(4.14) коэффициент у являет­ся функцией:

частоты — при вязком трении (уравнение (4.6)):

(4.15)

амплитуды — при сухом трении (уравнение (4.8)):

(4.16)

амплитуды и частоты — в общем случае (уравнение (4.9)):

(4.17)