Тема: «Математичний та фізичний маятник»

Знати: уявлення про залежність періоду власних коливань від параметрів системи; взаємні перетворення кінетичної та потенціальної енергії матеріальної точки під час коливань; затухання коливань за наявності сил тертя і порушення закону збереження повної механічної енергії. Поняття: амплітуда, період, частота коливань, резонанс, поперечні й поздовжні хвилі, довжина хвилі.

Уміти: вимірювати і робити розрахунки для визначення періоду коливань маятника

ü План теоретичного матеріалу.

1) Математичний маятник.

2) Фізичний маятник.

Теоретичний матеріал

Математичний маятник

Одним з найпростіших прикладів гармонічного коливання є коли­вальний рух математичного маятника. Математичним маятником називають матеріальну точку, підвішену на невагомій і неррзтяжній нитці, що коливається у вертикальній площині під дією сили тяжіння (рис. 10.8). До математичного маятника за своїми властивостями найбільше подібна систе­ма, що складається знерозтяжної легкої ни­тки, до одного з кінців якої підвішено металеву кульку. Можна вважати, що центр маси такої системи збігається з центром мас кульки. Коли система перебуває у спокої, то сила тяжіння зрівноважується силою натягу нитки

. Якщо кульку відхилити на деякий кут <р,

то рівноцінна сил натягу і земного тяжіння Р намагається повернути кульку в по­ложення рівноваги. Вертальна сила

(10.25)

Оскільки залежність такої сили від кута <р нелінійна, то коливання маятника не будуть гармонічними. Для малих кутів <р можна записа­ти, що , і вираз вертальної сили буде

(10.26)

де І — довжина маятника. При такій умові вертальна сила про­порційна куту ф, тому коливання маятника можна вважати гар­монічними. Рівняння руху математичного маятника має такий вигляд:

(10.27)

Знак "мінус" вказує на те, що вертальна сила напрямлена до положення рівноваги, а зміщення відраховується від положення рівноваги, тому знак прискорення протилежний знаку зміщення.

Проводячи аналогію між рівняннями (10.12) і (10.27), можна записати, що

Тоді з (10.14) маємо

(10.28)

Звідси випливає, що період коливань математичного маятника не залежить від амплітуди коливань (для малих значень кута відхилень (р) і маси маятника, а визначається його довжиною і прискоренням вільного падіння тіл у даному місці Землі.

Фізичний маятник

Фізичним маятником називають тверде тіло, здатне здійснювати коливання навколо нерухомої горизонтальної осї, яка не проходить че­рез центр мас (рис. 10.9).

Зрозуміло, що у положенні рівноваги фізичного маятника його центр мас С знаходиться на вертикалі з точкою підвісу О, але нижче від неї. При відхиленні маятника від положення рівноваги на кут <р виникає обертальний момент М сили тяжіння, плече якої /' = І sin ср. Він намагається повернути маятник у положення рівноваги. Якщо дією моментів сил тертя нехтувати, то з основного рівняння динаміки обертального руху дістанемо рівняння руху фізичного маятника:

(10.29)

де І — момент інерції тіла відносно горизонтальної осі, що проходить через точку підвісу О (у даному разі вісь перпендикулярна до площини рисунка); т — маса маятника; знак "мінус" вказує на те, що повертаючий момент намагається повернути маятник до положення рівноваги, а кут відхилення ер від положення рівноваги відраховується у протилежному напрямі. Для малих кутів відхилення sin <р «ер, і рівняння (1,0.29) набуває вигляду

(10.30)

Перепишемо рівняння (10.30) у такій формі:

(10.31)

Підставивши у mgl/I одиниці т, g, І і /, дістанемо, що розмірність цього виразу дорівнює розмірності частоти у квадраті. Тому можна зробити таке позначення: mgl/I = coj. Тоді рівняння (10.31) за вигля­дом збігається з рівнянням (10.13), а величина <р буде змінюватися гармонічно з періодом

(10.32)

Порівнюючи формулу (10.32) з (10.28) доходимо висновку, що ве­личина І/(ті) вимірюється в одиницях довжини, тобто

(10.33)

Величину L називають зведеною довжиною фізичного маятника. Очевидно математичний. маятник матиме такий самий період коли­вань, як і фізичний маятник, за умови, що його довжина дорівнює зведеній довжині фізичного маятника. Неважко показати, що L> І. Справді, за теоремою Гюйгенса — ІПтейнера момент інерції маятника відносно осі, що проходить через точку підвісу О, дорівнює

де І_о — момент інерції маятника відносно паралельної осі, що прохо­дить через його центр мас. Тоді

Точку О', що міститься на лінії ОС на відстані L від точки підвісу О, називають точкою коливань, або центром коливань фізичного маят­ника. Якщо в цій точці підвісити фізичний маятник, то його період коливань не зміниться. Справді, якщо О' — точка підвісу маятника, то йото нова зведена довжинаО

(10.34)

Оскільки то з (10.34) маємо, що Отже, точка підвісу О фізичного маятника і його центр коливань О' є взаємними або спряженими. Ця властивість використовується в оборотних маят­никах, які застосовуються для визначення з великою точністю при­скорення вільного падіння у різних точках Землі.

Маятники широко застосовуються у годинниках, у приладах для визначення прискорення рухомих тіл і вивчення коливань земної кори (сейсмографи), у гіроскопічних приладах, у приладах для експеримен­тального визначення моментів інерції тіл для дослідження механічних властивостей твердих тіл при різних фізичних умовах тощо.

ü Задачі.

ü Самостійно розв’язати задачі:

ü Питання самоконтролю:

1. Вертальна сила.

2. Рівняння руху математичного маятника.

3. Період математичного маятника.

4. Основне рівняння динаміки обертального руху фізичного маятника.

5. Зведена довжина фізичного маятника.

6. Центр коливань фізичного маятника.

Література:

Посібник №1. Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики: У 3-х т. / За ред. І.М. Кучерука. - [2-е вид., випр.] - К.: Техніка, 2006. - 532 с. - Т.1: Механіка. Молекулярна фізика і термодинаміка

Посібник №2. Кучерук Ї.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики: У 3-х т. / За пр. І.М. Кучерука. – [2-е вид., ипр..] — К.: Техніка, 2006. – 452 с. – Т.2: Електрика і магнетизм.

Посібник № 3. Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики: У 3-х т. / За ред. І.М. Кучерука. - [2-е вид., зипр.] -К.: Техніка, 2006. - 518 с. - Т.З: Оптика. Квантова фізика.

Посібник №4. П.П. Чолпан Основи фізики: навч. Посібник: - К. Вища шк., 1995.- 488 с.: іл.

Посібник №5. І.П. Гаркуша, І.Т. Горбачук, В.П. Курінний та ін.; за заг. ред. І.П. Гаркуші./Загальний курс фізики: Зб. Задач./ К.Техніка,2003.-560с.

Л1. Том1, частина1, розділ10, §10.4-10.5,с.219-220

Л5. Розділ 4, §4.2, с. 192

Самостійна робота №15