Рівняння Бернуллі. Реакція рідини, що витікає

Встановимо зв'язок між тиском і швидкістю стаціонарного руху ідеальної" рідини. Для цього виділимо ділянку трубки течії, в якій зна­ходиться об'єм рідини ABCD (рис. 7.9). Вважатимемо, що рідина пе­ребуває в полі земного тяжіння. Позначимо через p_t,v_l,AS_l і р₂, v₂, AS₂ відповідно тиск, швидкість рідини і площу перерізу. Через \ і /^ позначимо висоти розміщення центрів перерізів АВ і CD над

деяким горизонтальним рівнем. Не­хай за час Аґ рідина перемістилася з положення ABCD в положення A'B'C'D'. Знайдемо роботу А, ви­конану при цьому силами тиску. Сили тиску, що діють на бічну по­верхню трубки течії, роботи не ви­конують, оскільки вони завжди перпендикулярні до напряму руху частинок рідини. Тому роботу ви­конують тільки сили тиску F_x = p,AS, і F₂ = р₂А5₂, що діють на рідину через перерізи АВ і CD.

При переміщенні межі АВ в положення А'В' виконується додатна ро­бота А, = j^AS^Af, оскільки напрям дії сили тиску на межу АВ збігається з напрямом переміщення А/_г Робота, виконана при пе­реміщенні межі CD в положення CD' буде від'ємною, оскільки на-

прям дії сил тиску на межу CD протилежний напряму переміщення Д/₂ цієї межі. Вона дорівнює . Робота, виконана

силами тиску,

(7.9)

Робота ДА повинна дорівнювати зміні механічної енергії виділеного об'єму рідини. Оскільки рух рідини стаціонарний, енергія рідини в об'ємі A'B'CD не змінюється. Тому зміна енергії виділеного об'єму рідини буде такою, якби маса рідини в об'ємі ABB'А' перемістилась і заповнила об'єм CDD'C. Механічна енергія рідини в об'ємі АВВ'А' дорівнює сумі кінетичної і потенціальної енергій, тобто

де

Повна енергія цієї самої маси рідини, яка займає об'єм CDD'C, дорівнює

де

Зміна енергії , тобто

.(7.10)

За законом збереження енергії робота АА дорівнює зміні енергії, тобто

(7.11) Підставивши в (7.11) вирази (7.9) і (7.10), дістанемо

(7.12)

Для стаціонарного потоку нестисливої рідини об'єми АВВ'А' і CDD'C будуть однакові, тобто справджуються рівності

і Поділивши вираз (7.12) на

об'єм AF, матимемо

(7.13)

Оскільки перерізи АВ і CD взято довільно, то для будь-якого пе­рерізу трубки течії виконується умова

(7.14)

Рівняння (7.14) є рівнянням Бернуллі для стаціонарного потоку ідеальної рідини. Експериментально доведено, що рівняння Бернуллі можна застосувати і для реальних рідин, в'язкість яких невелика, а також для газів, швидкість руху яких значно менша від швидкості по­ширення в них звуку.

Розглянемо окремі випадки. Нехай трубка течії має різні перерізи, але її вісь розміщена горизонтально (А = const). Тоді рівняння (7.14) матиме вигляд

(7.15)

Звідси видно, що тиск більший там, де швидкість менша, тобто де більший переріз. Це пояснюється тим, що при переході рідини із ши­рокої частини у вужчу швидкість рідини зростає, вона рухається з прискоренням. Поява прискорення зумовлена дією сили, напрям якої, за другим законом Ньютона, збігається з напрямом прискорення. Оскільки ця сила зумовлена різницею тисків, то тиск більший у ширшій частині трубки течії. Якщо , рівняння Бернуллі матиме вигляд

(7.16) Звідси знаходимо різницю тисків

(7.17)

З цієї рівності випливає, що різниця тисків дорівнює гідростатичному тиску стовпа рідини висотою А, — h^, тобто стовпа не­рухомої рідини.

Якщо ж , то в загальному випадку різниця тисків

(7.18)

З останніх формул видно, що різниці тисків Ар₀ і Ар у. нерухомій і рухомій рідинах для перерізів, які розміщені на висотах А, і А^ неод­накові. У другому випадку різниця тисків більша на величину

У рівнянні (7.14) тиск р називають статичним. Його вимірюють за допомогою манометричних трубок з перерізом, паралельним лінії течії. Для вимірювання складової тиску pw²/2, зумовленого рухом рідини, застосовують трубки з перерізом, перпендикулярним до лінії течії. Цю складову називають динамічним тиском, а суму називають повним тиском, або повним напором. Для його вимірювання користуються трубкою Літо. Вона являє собою зігнуту манометричну трубку, яку розміщають у рухомій рідині так, що її відкритий кінець повернутий назустріч течії рідини (рис. 7.10, а). Для вимірювання статичного тиску р користуються зондом. Він відрізняється від трубки Піто тим, що його передня частина, яка повернута назустріч потоку рідини, запаяна, а в боковій стінці є невеликий отвір (рис. 7.10, б). На практиці трубку Піто і зонд суміщають в одному приладі, який називають трубкою Прандтля (рис. 7.10, в). Трубка Піто порушує характер руху рідини, і безпосередньо перед вхідним отвором виникає область, в якій швидкість руху частинок рідини зменшується до нуля (w₂ = 0). Тоді з рівняння (7.15) дістаємо

За допомогою трубки Прандтля визначають динамічний напір

Залежність тиску в рідині від її швидкості лежить в основі дії ба­гатьох технічних пристроїв.

Оскільки сума тиску і динамічного напору в потоці рідини стала, то в струмені тиск завжди менший, ніж у нерухомій рідині. При ве­ликих швидкостях тиск може стати меншим від атмосферного. Це яви­ще застосовується в пульверизаторах, карбюраторах, водоструминних насосах та в інших приладах. На рис. 7.11 показано найпростіший пульверизатор.

При достатній швидкості течії повітря тиск у звуженій частині трубки буде менший від атмосферного. Внаслідок цього рідина піднімається по вертикальній трубці вгору, оскільки тиск над її верхнім кінцем менший від атмосферного, який діє на вільну повер­хню рідини в посудині. При дальшому збільшенні швидкості повітря в звуженій частині горизонтальної трубки рідина піднімається вище від верхнього перерізу вертикальної трубки, захоплюється струменем повітря і розпилюється. Подібні явища спостерігаються в карбюраторі. Повітря при засмоктуванні в циліндр двигуна внутрішнього згорання рухається по звуженому каналу, в який входить трубка. Кінець цієї трубки міститься в рідкому паливі. Звуження каналу зумовлює зни­ження тиску, внаслідок чого рідке паливо піднімається по трубці і роз­пилюється повітрям.

Рідина, що витікає, за одиницю часу матиме імпульс

(7.19)

За законом збереження імпульсу повинен змінитися імпульс посу­дини з рідиною. Це приведе до того, що на посудину з боку рідини діятиме сила тиску (рис. 7.12) в напрямі, протилежному до напряму швидкості витікання рідини:

(7.20)

Силу F_R називають силою реакції рідини, що витікає, або реактив­ною силою. З формули (7.20) випливає, що сила F_R удвоє більша від сили тиску на пробку, яка закривала б отвір. Це пояснюється тим, що при витіканні рідини через отвір відбувається перерозподіл тиску все­редині рідини в посудині. При цьому напроти отвору тиск на стінки посудини виявляється більшим, ніж поблизу отвору, де швидкість ру­ху рідини близька до швидкості витікання через отвір.

На дії реактивної сили грунтується застосування гвинтів на літаках і кораблях для створення сили тяги. При швидкому обертанні гвинта літака повітря відштовхується назад до хвоста лопатями літака, змінюючи свій імпульс. У свою чергу, повітря діє на гвинт і на зв'яза­ний з ним корпус літака з силою, яка надає йому імпульс.,

Дією реактивної сили на гвинт вертольота з боку повітря пояс­нюється виникнення підіймальної сили. При обертанні навколо верти­кальної осі гвинт вертольота надає прилеглим до нього шарам повітря імпульс, напрямлений вниз. Ці маси повітря, в свою чергу* діють на гвинт і з'єднаний з ним корпус вертольота з силою реакції, яка на­прямлена угору. Якщо ця сила дорівнює вазі вертольота або переви­щує її, то вертоліт летить у повітрі або піднімається вгору.

Сила реакції виникає також і тоді, коли швидкість течії стала за модулем але змінюється за напрямом. Так, при стаціонарному потоці рідини по трубі сталого перерізу, яка зігнута під деяким кутом (рис. 7.14), рідина до згину труби за одиницю часу переносить імпульс Після згину труби за одиницю часу переноситься рухо­мою рідиною імпульс Оскільки труба сталого перерізу, то v_l = v₂. Зміна імпульсу рухомої рідини за одиницю часу дорівнює діючій силі, яка зумовила цю зміну, тобто

Сила F зумовлена дією труби на рухому рідину. За третім законом Ньютона з боку рідини на трубу діятиме сила реакції (див.рис. 7.14).

На реактивній силі такого типу грунтується дія турбін. У турбінах через вигнуті труби (со­пла), які закріплено на загальній осі обертання в площині, перпендикулярній до осі, пропуска­ють рідину або газ у напрямі від їхніх приосьо-вих кінців до зовнішніх. При русі рідини або газу по вигнутих соплах виникає сила реакції, момент якої і приводить турбіну в обертальний рух. Газові турбіни широко використовуються в авіації (турбогвинтові і турбореактивні двигу­ни). Гідравлічні турбіни використовуються в основному в стаціонарних умовах для приведення у рух генераторів електричного струму. Внаслідок високої економічності, компактності, надійності і можливості досягнення великих потужностей турбіни практично витіснили поршневі парові машини з сучасної енергетики.

ü Задачі.

ü Самостійно розв’язати задачі:

ü Питання самоконтролю:

1. Рівняння Бернуллі для стаціонарного потоку.

2. Динамічний тиск.

3. Повний тиск.

4. Трубка Піто.

5. Трубка Прандтля.

6. Сила реакції рідини.

Література:

Посібник №1. Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики: У 3-х т. / За ред. І.М. Кучерука. - [2-е вид., випр.] - К.: Техніка, 2006. - 532 с. - Т.1: Механіка. Молекулярна фізика і термодинаміка

Посібник №2. Кучерук Ї.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики: У 3-х т. / За пр. І.М. Кучерука. – [2-е вид., ипр..] — К.: Техніка, 2006. – 452 с. – Т.2: Електрика і магнетизм.

Посібник № 3. Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики: У 3-х т. / За ред. І.М. Кучерука. - [2-е вид., зипр.] -К.: Техніка, 2006. - 518 с. - Т.З: Оптика. Квантова фізика.

Посібник №4. П.П. Чолпан Основи фізики: навч. Посібник: - К. Вища шк., 1995.- 488 с.: іл.

Посібник №5. І.П. Гаркуша, І.Т. Горбачук, В.П. Курінний та ін.; за заг. ред. І.П. Гаркуші./Загальний курс фізики: Зб. Задач./ К.Техніка,2003.-560с.

Л1. Том 1, частина 1, розділ 7, §7.3,с.156

Л5. Розділ 1, §1.6, с. 53-56

Самостійна робота №10