Взаємозв'язок маси і енергії

Знайдемо вираз для кінетичної енергії W релятивістської частинки* Як і в нерелятивістській механіці, величину W означатимемо, якве­личину, приріст якої на певному відрізку траєкторії дорівнює роботі, виконаній над частинкою силою на цьому самому відрізку траєкторії.

Для елементарного переміщення маємо

(9.29) З основного рівняння релятивістської динаміки (9.23) випливає, що

Враховуючи це співвідношення, вираз (9.29) запишемо так:

Оскільки , а , то

(9.30) Диференціюючи співвідношення (9.24), дістанемо

(9.31)

На основі (9.31) рівність (9.30) можна переписати так:

(9.32)

Оскільки кінетична енергія частинки, яка перебуває у спокої, орівнює нулю, а її маса —т₀, то, інтегруючи рівняння (9.32) в межах

двід 0 до Г і від га₀ до т, дістанемо

(9.33) Вираз (9.33) можна записати також як

(9.34)

: де

Формула (9.34) виражає кінетичну енергію релятивістської частин­ки. Цей вираз відрізняється від нерелятивістського , і його неможна подати-у вигляді , де т – релятивістська маса частинки.

. Розглянемо випадок малих швидкостей . Розкладемо вираз

, користуючись формулою бінома, в ряд:

Обмежуючись першими двома доданками ряду, матимемо

аким чином, при малих швид­костях вираз (9.34) перетворюється у нерелятивістський. На

рис. 9.8 для наочного порівняння зображено графіки залежності. Особливою є відмінність у значеннях W_pM і W_Bep при швидкостях, близьких до швидкості світла

З формули (9.32) випливає, що приріст кінетичної енергії частинки має внутрішній нерозривний зв'язок з приростом її релятивістської маси. Враховуючи те, що різні види енергії їіожуть переходити з од­ного виду в інший, маса тіла може збільшуватися не тільки при зростанні його кінетичної енергії, а й при довільному зростанні інших видів енергії. На цій основі Ейнштейн зробив висновок: повна енергія тіла пов'язана з масою цього тіла співвідношенням

(9.35)

Формула (9.35) виражає один з фундаментальних законів природи — закон взаємозв'язку маси і енергії.

Вираз (9.35) з урахуванням (9.33) можна подати в іншій формі:

(9.36) При v = 0 дістаємо

(9_Г37)

' де Ео — енергія спокою, або власна енергія тіла масою /ио.

Зміна повної енергії тіла ЛЄ супроводиться відповідно зміною його маси і навпаки.

Закон взаємозв'язку маси і енергії особливо проявляється в ядерній фізиці і фізиці елементарних частинок, де розглядаються специфічні ядерні процеси і процеси перетворення елементарних частинок, які супроводяться великими змінами енергії порівняно з енергією спокою частинок.

Встановимо зв'язок енергії з імпульсом у рамках релятивістської механіки. Енергія тіла (частинки) і його імпульс пов'язані з реля­тивістською масою співвідношеннями

де v — швидкість тіла. Піднесемо обидва рівняння до квадрата і друге рівняння домножимо на :

Віднімаючи від першого рівняння друге, дістанемо

або

Шуканий зв'язок між енергією та імпульсом має вигляд

(9.38)

Різниця є інваріантною відносно перетворень Лоренца.

З рівняння (9.38) для релятивістської енергії маємо

(9.39)

З рівності (9.39) випливає, що релятивістська енергія властива та-^ісрж частинкам, які не мають маси спокою (т₀ = 0). Такою частин­ою, наприклад, є фотон, енергія якого

(9.40) а імпульс

(9.41)

Рівність (9.41) означає, що потік фотонів повинен чинити тиск. Світловий тиск вперше експериментально виміряв П. М. Лебедев.

Тиском світла пояснюється наявність хвостів у комет, структура планетарних туманностей.