Тема: «Стоячі хвилі. Принцип Гюйгенса. Дифракція хвиль»

Знати: формулу стоячої хвилі, поняття дифракції хвилі.

Уміти: використовувати формулу максимуму дифракції, визначати сталу дифракції

ü План теоретичного матеріалу.

1. Стоячі хвилі.

2. Принцип Гюйгенса.

3. Дифракція хвиль.

Теоретичний матеріал

Особливий випадок інтерференції спостерігається при накладанні двох плоских зустрічних хвиль з однаковими частотами і амплітуда­ми. При цьому утворюються так звані стоячі хвилі. Практично стоячі хвилі виникають при накладанні біжучої і відбитої хвиль. Розглянемо інтерференцію падаючої і відбитої хвиль. Вважатимемо, що хвилі по­ширюються у середовищі без затухання і амплітуди їх однакові і що падаюча хвиля поширюється в додатному напрямі осі ОХ, а відбита хвиля — у протилежному напрямі. Початок координат розмістимо у точці, в якій обидві хвилі мають однакові фази. За початок відліку часу виберемо такий момент, коли фази коливань обох хвиль дорівнюють нулю. Тоді рівняння падаючої і відбитої хвиль

(11.46) Результуюче зміщення знайдемо як суму складових, тобто

(11.47)

Рівняння (11.47) — це рівняння стоячої хвилі. З (11.47) видно, що якщо зафіксувати деяку точку, координата якої х, то для частинки, що знаходиться в цій точці, дістанемо рівняння гармонічного коливан­ня з амплітудою 2A_Q cos kx і з фазою ю*. Якщо переходити від однієї точки до іншої, то амплітуда змінюватиметься за законом

(11.48)

Отже, рівняння стоячої хвилі описує гармонічні коливання части­нок середовища в просторі, амплітуди коливань яких різні для різних точок. У рівнянні стоячої хвилі, на відміну від рівняння біжучої хвилі, немає швидкості поширення фази. У точках, для яких виконується умова

(11.49)

амплітуда результуючого коливання досягає максимального значення і дорівнює 2Aq. Ці точки називають пучностями стоячої хвилі. Коор­динати пучностей визначаємо з умови (11.49):

(11.50) У точках, для яких виконується умова

(11.51)

амплітуда результуючого коливання в будь-який момент часу дорівнює нулю. Такі точки називаються вузлами стоячої хвилі. Час­тинки середовища, що знаходяться у вузлових точках, коливань не здійснюють. Координати вузлових точок знаходимо з умови (11.51):

(11.52)

З формул (11.51) і (11.52) випливає, що відстань між сусідніми пучностями або між сусідніми вузлами дорівнює А/2. Відстань між сусіднім вузлом і пучністю

(11.53)

Множник 2А cos 2лх/Х, що входить до рівняння (11.47), для всіх точок, які лежать між двома сусідніми вузлами, має той самий знак,

а при переході через вузол, тобто через нульове значення, міняє знак на протилежний. Це означає, що всі частинки, які знаходяться між сусідніми вузлами, коливаються в одна­кових фазах. Частинки, що знаходяться з різних сторін вузла, коливаються у проти­лежних фазах, тобто різниця фаз між ними дорівнює ж. Стоячі хвилі можуть утворю­ватися при інтерференції як поперечних, так і поздовжніх хвиль.

На рис. 11.11 показано миттєвий розподіл зміщень частинок сере­довища для поперечної стоячої хвилі у момент часу t і t + 772.

Стояча хвиля супроводжується утворенням стоячої хвилі швидко­стей частинок середовища і стоячої хвилі відносної деформації. Знай­демо рівняння стоячої хвилі швидкостей і стоячої хвилі відносної деформації. Для цього продиференціюємо рівняння (11.47) по t і х. Рівняння стоячої хвилі швидкостей

(11.54)

Рівняння стоячої хвилі деформацій

(11.55)

З рівнянь (11.47) і (11.54) випливає, що вузли і пучності хвилі швидкостей збігаються з вузлами і пучностями хвилі зміщень. З рівнянь (11.47), (11.55) видно, що вузли стоячої хвилі відносної, де­формації збігаються з пучностями зміщень і швидкостей, а пучності відносної деформації — з вузлами зміщень і швидкостей.

У стоячій хвилі на відміну від біжучої хвилі не відбувається пере­несення енергії. Це пояснюється тим, що падаюча і відбита хвилі ма­ють однакові амплітуди і переносять однакову енергію у протилежних напрямах. Повна енергія стоячої хвилі зосереджена між вузловими точками і з часом не змінюється. Відбувається тільки перехід по­тенціальної енергії в кінетичну, і навпаки. Оскільки протягом існування стоячої хвилі вузлові точки перебувають у спокої, то через них енергія не переноситься. Через вузли швидкості, де частинки се­редовища перебувають у спокої, неможливе перенесення кінетичної енергії, а через вузли відносної деформації неможливе перенесення потенціальної енергії. Коли вся енергія переходить у потенціальну, то вона зосереджується в основному біля пучності хвилі відносної дефор­мації, тобто біля вузла хвилі зміщень. Коли вся енергія переходить у кінетичну, то вона зосереджується в основному біля пучності хвилі швидкостей, тобто біля пучності хвилі зміщень. Отже, перетворення потенціальної енергії в кінетичну (і навпаки) відбувається між сусідніми вузлами зміщень і відносних деформацій, тобто на ділянці завдовжки в чверть хвилі. Ці перетворення енергії відбуваються за період коливань стоячої хвилі. Поняття потоку енергії та вектора Умо­ва непридатні для стоячих хвиль.

Як зазначалося, стоячі хвилі найбільш зручно дістати накладанням біжучої і відбитої хвиль. У місцях відбивання хвиль на межі поділу двох середовищ залежно від граничних умов може утворюватись або вузол, або пучність. Кожне середовище чинить опір проникненню в нього хвиль. Здатність середовища чинити опір проникненню в нього хвиль характеризують хвильовим опором. Під ним розуміють добуток густини середовища на швидкість поширення хвиль, тобто pv. При переході хвилі з середовища, хвильовий опір якого piWi, у середовище з хвильовим опором p₂v₂ > piWi хвиля зазнає відбивання. На межі поділу середовища буде вузол. При відбиванні фаза коливань части­нок середовища змінюється на я. Зміну фази коливань на л при відбиванні хвиль називають втратою півхвилі. Насправді ніяких втрат

не відбувається. Для з'ясування явища зміни фази коливань на л при відбиванні хвилі розглянемо такий приклад. Нехай хвиля поши­рюється вздовж розтягнутого гумового шнура (рис. 11.12). У момент

відбивання вигин шнура напрямлений вгору і шнур діє на точку О, у якій він закріплений, з силою, також напрям­леною вгору. За третім законом Нью­тона, кріплення діє на шнур з силою протилежного напряму. Внаслідок дії цієї сили виникає відбита хвиля, подібна до падаючої, але з протилеж­ним напрямом коливань.

У разі, коли p,w, > p₂v₂, також відбуваються відбивання хвилі, але без зміни фази коливань. Утворення стоячих хвиль пов'язано також з явищем резонансу в обмежених ділянках суцільного пружного середо­вища.

Особливий випадок інтерференції спостерігається при накладанні двох пласких зустрічних хвиль з однаковими частотами і амплітудами. При цьому утворюються так звані стоячі хвилі. Практично стоячі хвилі виникають при накладанні біжучої і відбитої хвиль. Тоді рівняння падаючої і відбитої хвиль:

(1)

Рівняння стоячої хвилі:

(2)

Якщо переходити від однієї точки до іншої, то амплітуда змінюватиметься за законом:

(3)

Отже, рівняння стоячої хвилі описує гармонічні коливання частинок середовища в просторі, амплітуди коливань яких різні для різних точок. У рівнянні стоячої хвилі, на відміну від рівняння біжучої хвилі, немає швидкості поширення фази. У точках, для яких виконується умова

(4)

амплітуда результуючого коливання досягає максимального значення і = 2А₀. Ці точки називають пучностями стоячої хвилі.

На малюнку (1) показано миттєвий розподіл зміщень частинок середовища для поперечної стоячої хвилі у момент часу t i .

 

Стояча хвиля супроводжується утворенням стоячої хвилі швидкостей частинок середовища і стоячої хвилі відносної деформації.

Рівняння стоячої хвилі швидкостей:

(5)

Рівняння стоячої хвилі деформацій:

(6)

У стоячі хвилі на відміну від біжучої хвилі не відбувається перенесення енергії. Повна енергія стоячої хвилі зосереджена між вузловими точками і з часом не змінюється. Відбувається тільки перехід потенційної енергії в кінетичну і навпаки, оскільки протягом існування стоячої хвилі вузлові точки перебувають у спокої, то через них енергія не переноситься. Отже, перетворення потенційної енергії у кінетичну (і навпаки) відбувається між сусідніми вузлами зміщень і відносних деформацій, тобто на ділянці завдовжки в чверть хвилі. Ці перетворення відбуваються за період коливань стоячої хвилі. Поняття потоку енергії та вектора. Умова непридатності для стоячих хвиль. Як зазначалося, стоячі хвилі найбільш зручно дістати накладанням біжучої і відбитої хвиль. Здатність середовища чинити опір проникненню в нього характеризують хвильовим опором. Утворення стоячих хвиль пов`язано з явищем резонансу в обмежених ділянках суцільного пружного середовища.

ü Задачі.

ü Самостійно розв’язати задачі:

ü Питання самоконтролю:

1. Поняття стоячих хвиль.

2. Зміщення.

3. Амплітуда.

4. Умова максимуму та мінімуму коливань.

5. Вузлові точки.

6. Хвильовий опір.

7. Принцип Гюйгенса.

8. Поняття дифракції хвиль.

Література:

Посібник №1. Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики: У 3-х т. / За ред. І.М. Кучерука. - [2-е вид., випр.] - К.: Техніка, 2006. - 532 с. - Т.1: Механіка. Молекулярна фізика і термодинаміка

Посібник №2. Кучерук Ї.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики: У 3-х т. / За пр. І.М. Кучерука. – [2-е вид., ипр..] — К.: Техніка, 2006. – 452 с. – Т.2: Електрика і магнетизм.

Посібник № 3. Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики: У 3-х т. / За ред. І.М. Кучерука. - [2-е вид., зипр.] -К.: Техніка, 2006. - 518 с. - Т.З: Оптика. Квантова фізика.

Посібник №4. П.П. Чолпан Основи фізики: навч. Посібник: - К. Вища шк., 1995.- 488 с.: іл.

Посібник №5. І.П. Гаркуша, І.Т. Горбачук, В.П. Курінний та ін.; за заг. ред. І.П. Гаркуші./Загальний курс фізики: Зб. Задач./ К.Техніка,2003.-560с.

Л1, Том1, частина1, розділ 11, §11.6-11.7,с.261-264

Л5. Розділ 5, §5.4, с. 257

Самостійна робота №18