Вільні осі обертання. Гіроскопи

Якщо тілу, яке перебуває у обертальному русі відносно довільної осі, надати можливість самостійно обертатися, то в загальному випад­ку орієнтація осі обертання в просторі змінюватиметься. Щоб вісь

обертання твердого тіла не змінювала своєї орієнтації, на неї повинні діяти певні сили. Так, щоб вісь обертання тіла (рис. 4.12) знаходилась у вертикальному напрямі, на неї повинна діяти пара сил, момент якої М = FJ.. Якщо момент пари сил не діє, то вісь обертання поверталась би так, як це зображено стрілкою на рисунку. Можливий випадок, коли розподіл мас відносно осі обертання такий, як на рис. 4.13. Щоб вісь не переміщалася, на неї з боку підшипників повинні діяти сили

і . Вісь, відносно якої всі доцентрові сили, що діють на окремі частини тіла, взаємно зрівноважуються, називають вільною віссю обертання. При г, = г_г (див. рис. 4.13) вісь ОО буде вільною.

Для будь-якого тіла існують три взаємно перпендикулярні осі, що проходять через його центр мас і є вільними осями. Для однорідного прямокутного паралелепіпеда це осі О₁О₁, О^О₂ і О₃О₃, проведені че-

рез центр мас перпендикулярно до бічних граней (рис.4.14). Момент інерції його найбільший відносно осі O_lO_l і найменший відносно осі О₃О₃.

Теорія і практика показують, що обертання тіла буде стійким тільки відносно тих вільних осей, відносно яких момент інерції найбільший або найменший. Обертання тіла буде нестійким відносно осі, для якої момент інерції має проміжне значення. Якщо до нитки підвісити тонкий металевий стержень, диск або замкнутий ланцюжок і привести їх у швидке обертання, то вони здійснюватимуть оберталь­ний рух навколо вільних осей, відносно яких їхні моменти інерції найбільші (рис. 4.15).

Гіроскопом називають масивне симетричне тіло, що обертається навколо осі симетрії, яка може змінювати свою орієнтацію в просторі. Щоб вісь гіроскопа могла вільно міняти свою орієнтацію в просторі, його монтують на кардановому підвісі (рис. 4.16). Маховик гіроскопа кріпиться на його осі АА, яка може обертатися в підшипниках, розміщених у діаметрально протилежних точках внутрішнього кільця. Внутрішнє кільце, у свою чергу, може обертатися навколо осі ВВ, що входить у підшипники зовнішнього кільця. Зовнішнє кільце також мо-

 

же вільно обертатися навколо осі DD, яка проходить через нерухомі підшипники підставки. Вісь В В з віссю АА утворює кут 90°. Усі три осі перетинаються в одній точці, яка називається центром кардано­вого підвісу. Якщо центр карданового підвісу або точка опори збігається з центром мас гіроскопа, то його називають зрівноваженим, або вільним. Такий гіроскоп з трьома ступенями вільності може здійснювати будь-які повертання відносно центра підвісу. Маховик гіроскопа приводиться в швидке обертання електродвигуном або стис­нутим повітрям. Його момент імпульсу лежить на осі АА. Для зміни орієнтації осі гіроскопа в просторі потрібно, щоб на нього подіяв мо­мент зовнішніх сил.

Якщо спробувати повернути вісь гіроскопа, то можна спостерігати своєрідне явище, яке називається гіроскопічним ефектом. Цей ефект проявляється в тому, що рух осі гіроскопа визначається не напрямом дії зовнішньої сили, а напрямом її моменту.

Так, при дії пари сил, що намагаються повернути вісь гіроскопа АА навколо осі СС, вона повер­тається навколо осі ВВ (рис. 4.17). Така поведінка гіроскопа повністю пояснюється основним рівнянням динаміки обертального руху.

Справді, момент пари сил за час спричиняє приріст моменту імпульсу гіроскопа на величину , вектор якого паралельний

вектору М і напрямлений вздовж осі СС від нас за рисунком. (Осі АА, ВВ, вектори , , лежать у площині рисунка, вісь СС перпенди­кулярна до площини рисунка). Тепер момент імпульсу гіроскопа Оскільки вісь гіроскопа АА повинна збігатися за напря­мом з вектором , то гіроскоп здійснює поворот навколо осі ВВ. Вісь

обертання гіроскопа займе положення A_tA_r Якщо на гіроскоп трива­лий час діє момент пари сил, то вісь гіроскопа повертатиметься доти,

доки вектори L' і М не збігатимуться за напрямом.

Гіроскоп з досить великим моментом інерції, приведений у швидке обертання, має великий момент імпульсу. Якщо на такий гіроскоп подіє короткочасно навіть значний момент сил, то зміна його моменту імпульсу буде незначною, а гіроскоп наче протидіятиме будь-яким спробам змінити модуль і напрям його моменту імпульсу. З цим пов'язана стійкість, яку має гіроскоп після приведення його в швидке обертання. Якщо частота обертання гіроскопа 20 000 — 30 000 хв~', то він надійно зберігає напрям своєї осі обертання.

Особливий вигляд рух гіроскопа має тоді, коли момент зовнішніх сил, що діють на гіроскоп, з часом не змінюється за величиною і повертається разом з віссю обертання гіроскопа, утворюючи з нею весь час кут 90°. Вісь гіроскопа при цьому здійснюватиме повертання із сталою кутовою швидкістю. Таке повертання осі гіроскопа називають прецесією. Прецесія, наприклад, матиме місце під дією на гіроскоп моменту сили тяжіння (рис. 4.18). Момент сили тяжіння М = mgl sin а зумовлює протягом часу dt приріст моменту імпульсу гіроскопа

де т — маса гіроскопа; І — відстань від точки опори до центра маси гіроскопа; а — кут між вертикаллю і віссю гіроскопа. Зміна моменту

імпульсу на зумовлює повертання осі гіроскопа на кут с/<р. Оскільки при повертанні осі гіроскопа момент сили М залишається перпендикулярним до осі гіроскопа, то її обертання буде рівномірним, і вісь гіроскопа описуватиме конічну поверхню. Кутова швидкість по­вертання площини, що проходить через вісь конуса і вісь гіроскопа, називається швидкістю прецесії. З рис. 4.18 видно, що

Кутова швидкість прецесії

де / і со — відповідно момент інерції і ку­това швидкість обертання гіроскопа.

Прецесійний рух осі обертання спо­стерігається у Землі та інших планет. Земля має форму, яка дещо відмінна від кулі, її екваторіальний радіус більший від полярного.

Внаслідок цього рівнодійні си­ли притягання з боку Місяця і Сонця не проходять через центр мас Землі і створюють відносно нього моменти сил, які намагаються повернути вісь обертання Землі. Незважаючи на те що маса Місяця набагато менша від маси Сонця, дія Місяця на обертальний рух Землі в 2,2 раза більша за відповідну дію Сонця. Це пояснюється тим, що Місяць знаходиться значно ближче до Землі, ніж Сонце. Внаслідок прецесійного руху осі обертання Землі її полюси описують повне коло приблизно за 26 000 років. Оскільки взаємні розміщення Землі, Місяця і Сонця неперервно змінюються, змінюється також розміщення площини орбіти Місяця відносно пло­щини орбіти Землі. Тому існують також невеликі коливальні рухи земної осі — нутації.

При спробах повернути вісь гіроскопа внаслідок гіроскопічного ефекту виникають так звані гіроскопічні сили, які зумовлюють додатковий таек на підшипники. Наприклад, при вимушеному повертанні осі гіроскопа ОО навколо прямої О'О' (рис. 4.19) його вісь намагається повернутися навколо прямої О"О". Щоб запобігти такому повертан­ню, до осі гіроскопа повинні бути прикладеш з боку підшипників сили і . За третім законом Ньютона вісь гіроскопа діятиме на підшипники з силами і , які і є гіроскопічними силами.

Ці сили треба враховувати в конструюванні підшипників для парових турбін на кораблях, для гвинтів літаків, оскільки ротор турбіни і гвинт літака — це великі гіроскопи.

 

 

Властивість зрівноваженого гіроскопа зберігати незмінним напрям своєї осі обер­тання використовується для автоматичного управління рухом торпед, ракет, літаків, кораблів та інших апаратів. Одним із важ­ливих застосувань гіроскопа є гіроскопічні компаси, що використовуються на кораб­лях. Гіроскопічні ефекти застосовуються та­кож v дискових млинах.

ü Задачі.

ü Самостійно розв’язати задачі:

ü Питання самоконтролю:

1. Пара сил

2. Плече пари сил.

3. Момент сили. Результуючий момент.

4. Умови рівноваги твердого тіла.

5. Вільна вісь обертання.

6. Накреслити рисунок де вказані три вісі, що діють на будь яке тіло при обертанні.

7. Стійке та нестійке обертання.

8. Гіроскоп.

9. Центр карданового підвісу.

10. Момент сили тяжіння.

Література:

Посібник №1. Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики: У 3-х т. / За ред. І.М. Кучерука. - [2-е вид., випр.] - К.: Техніка, 2006. - 532 с. - Т.1: Механіка. Молекулярна фізика і термодинаміка

Посібник №2. Кучерук Ї.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики: У 3-х т. / За пр. І.М. Кучерука. – [2-е вид., ипр..] — К.: Техніка, 2006. – 452 с. – Т.2: Електрика і магнетизм.

Посібник № 3. Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики: У 3-х т. / За ред. І.М. Кучерука. - [2-е вид., зипр.] -К.: Техніка, 2006. - 518 с. - Т.З: Оптика. Квантова фізика.

Посібник №4. П.П. Чолпан Основи фізики: навч. Посібник: - К. Вища шк., 1995.- 488 с.: іл.

Посібник №5. І.П. Гаркуша, І.Т. Горбачук, В.П. Курінний та ін.; за заг. ред. І.П. Гаркуші./Загальний курс фізики: Зб. Задач./ К.Техніка,2003.-560с.

Л1.Том1.Частина 1, розділ 4, §4.5-4.6,с.10--105

Л5. Розділ 1, §1.3, с. 31

Самостійна робота №7