Случайные погрешности измерений

Факторы, определяющие возникновение случайных погреш­ностей, проявляются нерегулярно, в различных комбинациях и с интенсивностью, которую трудно предвидеть. Случайная погрешность случайно изменяется при повторных измерениях одной и той же физической величины. Однако если оперировать исправ­ленными результатами измерений, т.е. такими, из которых ис­ключены систематические погрешности, то чисто случайные по­грешности будут обладать следующими свойствами:

• равные по абсолютной величине положительные и отрица­тельные погрешности равновероятны;

• большие погрешности наблюдаются реже, чем малые;

• с увеличением числа измерений одной и той же величины среднее арифметическое погрешностей стремится к нулю, и, сле­довательно, среднее арифметическое результатов измерений стре­мится к истинному значению измеряемой величины.

Фактическое значение случайной погрешности, полученное при поверке средства измерения, не характеризует его точности. Для оценки интервала значений погрешностей и вероятности появле­ния определенных значений необходимы многократные измерения и использование математического аппарата теории вероятностей.

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциаль­ных функций распределения.

Интегральной функцией распределения называют функцию, значение которой для каждого является вероятностью появления значений (в i-м наблюдении), меньших :

=P

(3.1)

где Р — символ вероятности события, описание которого за­ключено в фигурных скобках.

Обычно график интегральной функции распределения резуль­татов наблюдений представляет собой непрерывную неубывающую кривую, начинающуюся от нуля на отрицательной бесконечно­сти и асимптотически приближающуюся к единице при увеличе­нии аргумента до плюс бесконечности.

Если интегральная функция имеет точку перегиба при значе­нии , близком к истинному значению измеряемой величины, и принимает в этой точке значение, равное 0,5, то говорят о сим­метричности распределения результатов (рис. 3.3, а).

Более наглядным является описание свойств результатов на­блюдений, содержащих случайные погрешности, с помощью диф­ференциальной функции распределения, иначе называемой плот­ностью распределения вероятностей (рис. 3.3, б):

(3.2)

 

Поскольку , то , т.е. площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице.

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал ( ) равна площа­ди, заключенной между абсциссами и :

 

(3.3)

 

Рис. 3.3. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции распреде­ления случайной величины: — значения измеряемой величины; — заданный интервал; — значения интегральной функции в начальной и конечной точках заданного ин­тервала; — центр распределения; — дифференциальная функция распреде­ления; — площадь, заключенная между кривой дифференциальной функ­ции распределения и осью абсцисс

 

Отыскание функций распределения требует проведения весьма трудоемких исследований и вычислений. На практике встречаются трапециидальные, уплощенные, экспоненциальные и другие виды распределений. Однако для наибольшего числа встречающихся на практике случайных величин можно ожидать распределение по так называемому закону нормального распределения (закону Гаусса).

Теоретически доказано, что распределение случайных погреш­ностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений формируются под действием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

Плотность нормального распределения вероятностей для случайной величины (рис. 3.4, а) описывается уравнением:

 

(3.4)

 

где и - математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение, являющиеся основными параметрами нормального распределения; - основание натурального логарифма.

Кривая имеет точки перегиба, соответствующие абсциссам .

Если данную кривую рассматривают как плотность распределения случайных погрешностей, то начало координат переносят в центр распределения и по оси абсцисс откладывают значения погрешностей (рис. 3.4, б). Уравнение принимает вид:

 

(3.5)

Математическое ожидание случайной величины

представляет собой оценку истинного значения измеряемой ве­личины. Математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.

Дисперсия результатов наблюдений является характеристикой их рассеивания:

 

(3.6)

 

Она имеет размерность квадрата измеряемой величины и не всегда удобна для использования в качестве характеристики рас­сеивания.

Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений имеет размерность измеряемой величины и наиболее часто используется в качестве основного параметра, характеризующего рассеивание результатов измерений.

 

а

б

Рис. 3.4. Кривая нормального распределения случайной величины (а) и случайной

погрешности (б): — дифференциальная функция распределения случайной

величины; — дифференциальная функция распределения случайной погрешности;

— среднее квадратическое отклонение; — погрешность;

— математическое ожидание

Если абсцисса функций нормального распределения выража­ется в долях среднего квадратического отклонения:

 

(3.7)

 

и начало координат находится в центре распределения, то распределение называется нормированным. Уравнения дифференциальной и интегральной функций нормированного нормального распределения принимают следующий вид:

;

(3.8)

Определенный интеграл

 

(3.9)

 

называют функцией Лапласа. Заметим, что .

Значения функции Лапласа для различных значений t приведены в табл. 3.1.

Приведенные в табл. 3.1 значения показывают, что случайная погрешность при одноразовом измерении не выйдет за пределы интервала с вероятностью ≈ 0,68 (0,3413·2), т.е. 68% измере­ний будут иметь погрешность .

Таблица 3.1

Значения функции Лапласа

0,0	0,0000	1,0	0,3413	2,0	0,4772	3,0	0,4986
0,1		1,1		2,1		3,5
0,2		1,2		2,2		4,0
0,3		1,3		2,3			0,5
0,4		1,4		2,4
0,5		1,5		2,5
0,6		1,6		2,6
0,7		1,7		2,7
0,8		1,8		2,8
0,9		1,9		2,9

 

В интервале погрешность находится с вероятностью ≈ 0,95 (0,4772·2), в интервале — с вероятностью 0,9973, т.е. вероятность того, что случайная по­грешность не выйдет за пределы , составляет 0,9973, или 99,73 %. На практике с учетом интервала часто указывают предельную погрешность для некоторых средств измерений. В ряде случаев для средства измерения указывают среднее квадратическое отклоне­ние случайной погрешности, а доверительную вероятность выби­рают в зависимости от конкретных условий.

В производственной практике часто считается необходимым выполнение следующего условия: допустимое предельное откло­нение от заданного номинального размера должно быть не мень­ше интервала . В этом случае в среднем только одно из 370 изделий будет бракованным.

Область технологического рассеивания какого-либо размера (па­раметра) изделия, как правило, подчиняется нормальному зако­ну, и периодически определяемое среднее квадратическое откло­нение является показателем изменений в технологическом цикле.