Суммирование погрешностей измерений. Оценка результатов косвенных измерений

Суммированием погрешностей называют определение расчетным путем оценки результирующей погрешности по известным оцен­кам ее составляющих.

Если составляющие погрешности подчиняются разным зако­нам распределения и их количество велико, то их суммирование с выявлением функции многомерного распределения представ­ляет неразрешимую задачу.

На практике суммирование заключается, как правило, в опре­делении среднего квадратического отклонения результиру­ющей погрешности по известным составляющих погрешностей. При этом используют ряд упрощений и допущений. Мы приведем лишь основные формулы и правила, которые могут найти приме­нение в строительной практике.

Простейшим случаем, при котором возникает необходимость суммирования погрешностей, является нахождение искомой ве­личины как суммы нескольких составляющих (например, большой длины по частям). Если при этом системати­ческие погрешности при измерениях исключены и коэффициент корреляции между составляющими погрешностями отсутствует, то можно утверждать, что

 

(3.15)

Если суммируемых составляющих более пяти, то можно утвер­ждать, что распределение случайной погрешности суммы будет близко к нормальному. Для построения доверительного интервала в этом случае можно применить функцию Лапласа.

Если при определении составляющих погрешностей использу­ют измерительные средства с известными предельными погреш­ностями, заданными из условия трех сигм , и при измере­ниях не вносятся дополнительные методические погрешности, то справедлива формула:

 

(3.16)

 

Погрешность суммы в этом случае не выйдет за пределы полу­ченного значения с вероятностью 0,997.

Приведенные формулы используются при расчете допуска за­мыкающего звена размерных цепей в системе обеспечения гео­метрической точности в строительстве.

Другая наиболее часто встречающаяся функциональная зави­симость, используемая при косвенных измерениях, выражается уравнением:

 

(3.17.)

 

Где — безразмерный коэффициент.

В этом случае относительное среднеквадратическое отклонение

(коэффициент вариации) результирующей величины опреде­ляется по формуле:

 

.

(3.18)

 

При суммировании составляющие погрешности могут значи­тельно отличаться по величине. Наименьшие из них иногда не влияют на точность определения суммарной погрешности и, сле­довательно, ими можно пренебрегать с целью упрощения вы­числений. Для этой цели устанавливают критерий ничтожно ма­лой погрешности, т.е. правило, позволяющее исключать ее из расчета.

Наиболее часто используют следующее правило: наименьшую случайную погрешность можно не учитывать, если ее среднеквад­ратическое отклонение в три раза меньше, чем любой из ос­тавляемых погрешностей.

Выбор средств измерений

Учет всего комплекса метрологических характеристик необхо­дим только при измерениях высокой точности, а также при про­ектировании сложных измерительных систем. В большинстве про­изводственных отраслей, в том числе в строительстве, использу­ют рабочие средства измерений, метрологические характеристи­ки которых нормированы на основе классов точности.

Класс точности — обобщенная характеристика средств изме­рений определенного типа, позволяющая судить о том, в каком диапазоне находится суммарная погрешность измерений. Совокуп­ность метрологических характеристик, определяющих класс точ­ности, отражается в стандартах или технических условиях.

Средствам измерений с несколькими диапазонами измерений одной и той же физической величины или предназначенным для измерений разных физических величин могут быть присвоены различные классы точности для каждого диапазона или каждой измеряемой величины.

Обозначения классов точности наносятся на циферблаты, щит­ки и корпуса средств измерений. При этом в эксплуатационной документации на средства измерений, содержащей обозначение класса точности, должна быть ссылка на стандарт или техниче­ские условия, в которых установлен класс точности для этого типа средств измерений.

Обозначения могут иметь форму заглавных букв латинского алфавита или римских цифр с добавлением условных знаков. Смысл таких обозначений раскрывается в нормативно-технической до­кументации. Если же класс точности обозначается арабскими циф­рами с добавлением какого-либо знака, то эти цифры непосред­ственно оценивают погрешность измерения.

Для выражения допускаемых основных погрешностей при их нормировании и оценке используют различные способы, в зави­симости от того, какой из них наиболее соответствует характеру средства измерений. Например, для гирь, штангенинструмента, концевых мер длины указывают значения абсолютных допуска­емых погрешностей . При этом класс точности обозначается од­ной арабской цифрой (порядковым номером): 0; 1; 2. Наимень­шие погрешности соответствуют классу 0. Значения этих погреш­ностей для разных номинальных значений мер указаны в таблицах стандартов.

Если нормируется допустимая относительная погрешность , то класс точности обозначается в виде 1,0, где 1,0 — значение допустимой предельной относительной погрешности в процентах от измеренного значения. Например, если при выполнении изме­рения прибором, имеющим на щитке обозначение 1,5 получен результат 200, то абсолютная погрешность не превышает значе­ния 200 ∙ 0,015 = 3 и измеренное значение находится в интервале 200 ±3. Для многих приборов, например вольтметров, ампермет­ров, нормируют значение приведенной погрешности , измеря­емой в процентах:

где — нормирующее значение, в качестве которого прини­мается, как правило, значение верхнего предела измерений.

Класс точности при этом обозначается числом из того же ряда, что и при нормировании относительной погрешности, но допол­нительного значка при этом нет. Например, если вольтметр клас­са 1,5 с диапазоном измерений от 0 до 250 В показывает напряже­ние 36 В, то абсолютная погрешность измерения, В, составит: , а относительная погрешность измерения, %, составит: . Для приборов с нормируемой при­веденной погрешностью абсолютная погрешность не зависит от значения измеряемой величины, а относительная погрешность увеличивается с уменьшением значения измеряемой величины. Значение абсолютной погрешности можно снизить, если исполь­зовать прибор того же класса точности, но с меньшим диапазо­ном измерений.

Шкалы некоторых приборов градуируют в миллиметрах, абсо­лютная погрешность при этом выражается также в единицах дли­ны. Если для такого прибора нормируется значение приведенной погрешности, то класс точности прибора обозначается в виде 1,0, где 1,0 — значение приведенной погрешности, выраженное в про­центах.

Выбор средств измерений для конкретных измерительных це­лей определяется многими факторами. Задача выбора может быть как очень простой, так и достаточно сложной, когда требуется проверка соответствия свойств средства измерения предъявляемым требованиям по быстродействию, надежности, степени защищен­ности от определенных воздействий и т. п. Но главным требовани­ем является, как правило, обеспечение необходимой точности из­мерений. Для обоснования этого требования необходимо знать цель измерения. Таких целей две. Они имеют следующие принципиаль­ные отличия:

• определение действительного размера измеряемой величины в заданных единицах;

• определение соответствия измеряемой величины предписан­ному (номинальному) размеру, для которого заданы допустимые предельные отклонения.

В первом случае измеряемой величине присваивается размер, достоверность которого полностью определяется погрешностью, имевшей место в момент измерения. Допустимая погрешность на­значается исходя из конкретных задач определения размера. На­пример, при ручной доводке детали до заданного геометрического размера рабочий контролирует этот размер с помощью штанген­циркуля и прекращает доводку при полном совпадении штрихов, соответствующих заданному размеру. Выбор штангенциркуля обус­ловлен тем, что предельная погрешность измерения меньше или равна заданному допуску. Другой пример: при отчуждении товаров в единицах массы, объема или длины допустимое предельное откло­нение от номинального размера устанавливается соглашением сто­рон или в законодательном порядке. Предельная погрешность изме­рительного устройства для «отмеривания» товара должна быть мень­ше или равна заданному допустимому отклонению. Заметим, что здесь практически совпадают понятия «допускаемая погрешность измерения» и «допускаемое отклонение от размера величины».

Во втором случае с помощью измерения проверяют, находит­ся ли размер измеряемой величины в заданном интервале (в поле допуска), например при приемочном контроле изделий по гео­метрическим размерам. При этом изменение (исправление) раз­мера в процессе измерения невозможно. Результат измерения используется только для определения пригодности. При этом по­грешность измерения влияет на окончательные результаты при­емки («годен» или «брак») только тех изделий, фактические раз­меры которых находятся близко к границам поля допуска. Увели­чение погрешности измерения увеличивает вероятность того, что часть изделий будет неправильно принята (ошибка 1-го рода), а часть изделия – неправильно забракована (ошибка 2-го рода).

На рис. 3.7 показано влияние погрешности измерения на резуль­таты контроля при размерах изделий, близких к границам поля допуска. Если размер изделия находится в поле допуска на рассто­янии от границы, но при измерении имела место погрешность , то изделие будет неправильно забраковано. Аналогично при — бракованное изделие будет неправильно принято.

Влияние погрешности измерения на результаты контроля (раз­браковки) оценивается следующими параметрами:

т — число деталей в процентах от общего числа, имеющих отклонения за обе границы допуска и принятых в число годных;

п — число деталей в процентах от общего числа, имеющих от­клонение в пределах допуска и неправильно забракованных;

С — вероятностная предельная величина выхода размера за каж­дую границу допуска у неправильно принятых изделий.

 

Рис. 3.7. Влияние погрешности измерения на результаты контроля:

— область технологического рассеивания размеров изделий; — предель­ная погрешность измерения; IT — допуск на контролируемый размер; — погрешности изготовления; — погрешности измерения

 

Для практического применения построены графики, позволя­ющие определять параметры разбраковки т, п, С в зависимости от законов распределения и числовых значений погрешностей измерения и изготовления. Для использования графиков предва­рительно вычисляют следующие параметры:

• относительную погрешность измерения (в процентах):

 

;

 

• среднее квадратическое отклонение погрешности измерения:

 

 

• среднее квадратическое относительной погрешности измерения:

 

• среднее квадратическое отклонение технологического рассе­ивания размеров изделий:

 

 

Пример. Определить результаты разбраковки. Дано: 1Т= 20 мм;

Вычисляем необходимые параметры:

 

 

 

 

Затем для по графикам находим:

 

 

В рассмотренном примере предельная погрешность измерения составляет 30 % от заданного допуска. При этом получены вполне приемлемые для производственной практики значения парамет­ров т, п, С. Увеличение предельной погрешности до 50 % от до­пуска в данном случае приведет к увеличению параметров т и п до значений соответственно 1,2 и 6,4% (условно назовем их не­приемлемыми). Исходя из приемлемости указанных параметров. Как правило, и осуществляется выбор средств измерений. При линейно-угловых измерениях допустимая предельная погрешность измерений принимается в диапазоне 20...35% от заданного до­пуска на измеряемый размер, а при арбитражной перепроверке принятых изделий предельная погрешность измерения должна составлять не более 30 % от предельной погрешности, имевшей место при первичной разбраковке.

Если недопустимо попадание бракованных изделий в число принятых, то прибегают к производственному допуску, уменьшая размер заданного допуска на величину предельной погреш­ности измерения или на удвоенную величину параметра С.

Введение производственных допусков, так же как и выбор ра­бочих средств измерений для разбраковки, необходимо осуществ­лять на основе технико-экономических расчетов. Иногда более эко­номичным оказывается использование для разбраковки простоте и надежного средства измерений с большой предельной погреш­ностью, но с перепроверкой забракованных изделий более точ­ным средством измерений или путем повторных многократных измерений.

Если область технологического рассеивания размеров изделий практически совпадает с заданным допуском, то приемочный контроль используют для обнаружения возникших нарушений в технологическом цикле. В этом случае все первоначально забрако­ванные изделия подвергают повторному, более тщательному, кон­тролю, и если брак подтверждается, то это свидетельствует о воз­никших нарушениях в технологическом цикле.

Особое внимание уделяется выбору разрядных эталонных средств измерений, используемых при поверочных работах. Если поверяемое средство измерений предназначено для применения без поправок, то в ходе поверки определяют, не выходят ли его погрешности за установленные (допускаемые) пределы. В этой случае результаты поверки можно охарактеризовать параметрами аналогичными рассмотренному случаю разбраковки изделий, и вероятность ошибок 1-го и 2-го рода зависит от отношения по­грешностей поверяемого и используемого для поверки средств измерений. Данное отношение для различных видов измерений и различных ступеней поверочных схем колеблется от 1:10 до 1:3 и принимается с учетом всего комплекса метрологических характе­ристик используемых эталонных средств измерений.

Контрольные вопросы для самопроверки.

 

1. Что такое физическая величина?

2. Сформулируйте понятие единицы и значение физической величины.

3. Понятие измерений и их виды.

4. Понятие о точном измерении.

5. В чем состоит назначение эталона единицы физической величины?

6. В чем заключается поверка средств измерений?

7. Назовите основные единицы системы СИ.

8. Назовите производные единицы системы СИ, используемые при расчетах строительных конструкций.

9. Изобразите принцип построения поверочных схем.

10. В чем заключается калибровка средств измерений?

11. Понятие случайной погрешности.

12. Понятие систематической погрешности.

13. В чем заключается суммирование погрешностей измерений?

14. Что означает понятие о классе точности средств измерений?

15. В чем состоит задача выбора средств измерений?

РАЗДЕЛ 2.

КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА КОНСТРУКЦИЙ И МАТЕРИАЛОВ.

 

ЛЕКЦИЯ 4. СИСТЕМА КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА. ВИДЫ И МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ