Обработка результатов измерений, содержащих случайные погрешности

На практике приходится довольствоваться ограниченным чис­лом измерений для того, чтобы оценить истинное значение измеряемой величины и точность измерения. Если число измерений велико (более 100), то кривую распределения можно построить достаточно точно, и если она соответствует нормальному закону, то графически определяется математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение . Результаты измерений делят на 10...20 интервалов и записывают в виде статистиче­ского ряда

 

			…
			…
			…

Примечание: — число результатов в интер­вале; — вычисленная вероятность попадания в дан­ный интервал.

При этом ; .

Статистический ряд служит основой для построения гисто­граммы и статистической функции распределения (рис. 3.5). При гистограмма переходит в плавную кривую.

Соответствие полученной кривой закону нормального распре­деления проверяют по критериям Пирсона или Холмогорова.

Если измерений меньше 15, то принадлежность эксперимен­тального распределения к нормальному не проверяется.

 

 

Рис. 3.5. Построение гистограммы и статистической функции распреде­ления по опытным данным: — принятый интервал; — вероятность попадания соответственно в интервалы 1 и 2; — ордината функции распределения в точке 1

 

При обработке результатов ограниченного числа наблюдений в качестве оценки математического ожидания принимается сред­нее арифметическое результатов наблюдений:

 

(3.10)

 

Приближенное значение среднего квадратического отклонения в этом случае вычисляется по формуле:

 

(3.11)

 

Появление в знаменателе выражения вместо п связано с заменой математического ожидания средним арифметическим незначительного числа наблюдений.

Среднее арифметическое отличается от математического ожи­дания на величину случайной погрешности (погрешности среднего значения), которая подчиняется тому же закону распределения, что и погрешности результатов отдельных наблюдений.

Дисперсия среднего арифметического вычисляется по формуле:

 

(3.12)

а среднее квадратическое среднего арифметического — по формуле:

 

(3.13)

 

При увеличении числа наблюдений и .

Границы доверительного интервала, в котором с заданной вероятностью (обеспеченностью) находится случайная погрешность среднего арифметического, определяют по формуле:

 

.

(3.14)

 

При числе наблюдений значения коэффициента определяют по таблицам функции Лапласа (см. табл. 3.1), а при -по таблицам функции Стьюдента (табл. 3.2, 3.3).

Зная число наблюдений и задавшись доверительной вероят­ностью , можно найти по табл. 3.2 значение и, умножив его на , определить границы доверительного интервала. В тех случаях, когда требуется определить доверительную вероятность при за­данном , удобнее пользоваться табл. 3.3.

Таблица 3.2.

Значения коэффициента при числе измерений от 2 до 20

и заданной доверительной вероятности

	Доверительная вероятность
0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,995	0,999
	1,00	1,38	1,96	3,08	6,31	12,71	31,80	63,70	127,30	637,20
	0,82	1,06	1,34	1,89	2,92	4,30	6,96	9,92	14,10	31,60
	0,76	0,98	1,25	1,64	2,35	3,18	4,54	5,84	7,50	12,94
	0,74	0,94	1,19	1,53	2,13	2,77	3,75	4,60	5,60	8,61
	0,73	0,92	1,16	1,48	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0,72	0,91	1,13	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,71	0,90	1,12	1,42	1,90	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,71	0,89	1,11	1,40	1,86	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,70	0,88	1,11	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78
	0,70	0,88	1,09	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17	3,58	4,59
	0,70	0,88	1,09	1,36	1,80	2,20	2,72	3,11	3,50	4,49
	0,70	0,87	1,08	1,36	1,78	2,18	2,68	3,06	3,43	4,32
	0,69	0,87	1,08	1,35	1,77	2,16	2,65	3,01	3,37	4,22
	0,69	0,87	1,08	1,34	1,76	2,14	2,62	2,98	3,33	4,14
	0,69	0,87	1,07	1,34	1,75	2,13	2,60	2,95	3,29	4,07
	0,69	0,86	,1,07	1,34	1,75	2,12	2,58	2,92	3,25	4,02
	0,69	0,86	1,07	1,33	1,74	2,11	2,57	2,90	3,22	3,96
	0,69	0,86	1,07	1,33	1,73	2,10	2,55	2,88	3,20	3,92
	0,69	0,86	1,07	1,33	1,73	2,09	2,54	2,86	3,17	3,88
	0,67	0,84	1,04	1,28	1,64	1,96	2,33	2,58	2,81	3,29

Таблица 3.3.

Значения функции Стьюдента

для интервалов t=2...3,5 при числе измерений n от 2 до 20

 

 

п	Коэффициент t	п	Коэффициент t
2,0	2,5	3,0	3,5	2,0	2,5	3,0	3,5
2	0,705	0,758	0,795	0,823		0,929	0,970	0,988	0,995
	0,816	0,870	0,905	0,928		0,931	0,972	0,989	0,996
	0,861	0,912	0,942	0,961		0,933	0,974	0,990	0,996
	0,884	0,933	0,960	0,975		0,935	0,974	0,990	0,996
	0,898	0,946	0,970	0,983		0,936	0,975	0,991	0,997
	0,908	0,953	0,976	0,987		0,937	0,976	0,992	0,997
	0,914	0,959	0,980	0,990		0,938	0,977	0,992	0,997
	0,919	0,963	0,983	0,992		0,939	0,978	0,992	0,997
	0,923	0,966	0,985	0,993		0,940	0,978	0,993	0,997
	0,927	0,969	0,987	0,994	со	0,955	0,988	0,997	0,9995

3.5. Критерии оценки грубых погрешностей (промахов)

При однократных измерениях обнаружить грубую погрешность не всегда удается. При многократных измерениях для их обнару­жения используют статистические критерии. При этом задаются вероятностью (уровнем значимости) того, что сомни­тельный результат действительно может иметь место в данной со­вокупности результатов измерений.

При числе наблюдений используют, как правило, кри­терий трех сигм (критерий Райта). По этому критерию промахом считается результат наблюдения который отличается от среднего более чем на , т.е. . Вероятность возникнове­ния такого результата (1 - 0,9973).

При малом числе наблюдений применяют критерий Романовского. При этом вычисляют отношение и сравнивают его с критерием , зависящим от заданного уровня зна­чимости и числа наблюдений (табл. 3.4). При результат считается промахом и отбрасывается.

Таблица 3.4

Значения критерия Романовского