Определение систематических погрешностей.

1. Исключение известных систематических погрешностей из результатов наблюдений или измерений выполняем введением поправок к этим результатам.

Поправки по абсолютному значению равны этим погрешностям и противоположны им по знаку.

2. Введением поправок исключаем:

погрешность, возникающую из-за отклонений действительной температуры окружающей среды при измерении от нормальной;

погрешность, возникающую из-за отклонений атмосферного давления при измерении от нормального;

погрешность, возникающую из-за отклонений относительной влажности окружающего воздуха при измерении от нормальной;

погрешность, возникающую из-за отклонений относительной скорости движения внешней среды при измерении от нормальной;

погрешность, возникающую вследствие искривления светового луча (рефракции);

погрешность шкалы средства измерения;

погрешность, возникающую вследствие несовпадения направлений линии измерения и измеряемого размера.

3. Поправки по указанным погрешностям вычисляем в соответствии с указаниями таблицы.

Таблица № 15

Поправки для исключения систематических погрешностей

Продолжение таблица № 15

Обозначения, принятые в таблице:

L - непосредственно измеряемый размер, мм;

- номинальная длина мерного прибора, мм;

- действительная длина мерного прибора, мм;

- коэффициенты линейного расширения средства измерения и объекта, 10^-6 град^-1;

- температура средства измерения и объекта, °С;

h - величина отклонения направления измерения от направления измеряемого размера, мм;

Q - предельное значение допустимой силы ветра, Н;

Р - сила натяжения мерного прибора (рулетки, проволоки), Н.

4. Поправки могут не вноситься, если действительная погрешность измерения не превы­шает предельной.

Пример.

Определить систематические погрешности и записать результат с учетом различных па­раметров.

Получен результат измерения длины стальной фермы x_i = 24003 мм. Измерение выполня­лось 3-метровой рулеткой из нержавеющей стали при t = -20 °С. При этом a₁ = 20,5·10^-6, a₂ = 12,5·10^-6, t₁ = t₂ = -20°С, = 3000 мм, = 3002 мм, h = 35 мм, P = 9 Н, Q = 1,2 Н.

Решение

1. Поправка на температуру окружающей среды

мм.

= -24003[20,5·10^-6(-20 - 20) - 12,5·10^-6(-20 - 20)]» 7,7 мм.

Действительную длину x_i фермы с учетом поправки на температуру окружающей среды принимаем равной

= 24003 + 7,7 = 24010,7 мм.

 

2. Поправка на относительную скорость внешней среды

 

мм.

 

мм.

 

Действительную длину x_i фермы с учетом поправки на относительную скорость внешней среды принимаем равной

= 24003 + 2,22 = 24002,22 мм.

 

 

3. Поправка на длину шкалы средства измерения

 

мм.

 

мм.

 

мм.

 

мм.

 

Действительную длину x_i фермы с учетом поправки на длину шкалы средства измерения принимаем равной

= 24003 + 16,002 = 24019,002 мм.

 

 

4. Поправка на несовпадение направлений линии измерения и измеряемого размера

 

мм.

 

мм.

 

Действительную длину x_i фермы с учетом поправки несовпадение направлений линии из­мерения и измеряемого размера принимаем равной

= 24003 + 0,025 = 24003,025 мм.

 

Действительную длину x_i фермы с учетом всех поправок принимаем равной

= 24003 + 7,7 + 2,22 + 16,002 + 0,025 = 24028,9 мм.

 

Задание

 

Определить систематические погрешности и записать результат с учетом различных параметров.

Данные результатов измерений приведены в таблице №16

 

Таблица № 16

 

Задача 3

А) ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ВИДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

 

Для предварительной оценки вида распределения по полученным данным строят гистограмму распределений или полигон распределения. В начале производится группирование – разделение данных от наименьшего x _min до наибольшего x _max на r интервалов. Для количества измерений от 30 до 100 рекомендуемое число интервалов – от 7 до 9. Ширину интервала выбирают постоянной для всего ряда данных, при этом следует иметь в виду, что ширина интервала должна быть больше погрешности округления при записи данных. Ширину интервала вычисляют по формуле

 

Вычисленное значение h обычно округляют. Например при h = 0,0187 это значение округляют до h = 0,02. Установив границы интервалов, подсчитывают число результатов измерений, попавших в каждый интервал. При построении гистограммы или полигона распределения масштаб этих графиков рекомендуется выбирать так, чтобы высота графика относилась к его основанию примерно как 3 к 5.

Пример

Построить гистограмму и полигон распределения по полученным экспериментальным данным, приведенным в табл. 17.

Таблица № 17

Результаты измерений

Определяем ширину интервала

 

 

Строим гистограмму распределений (рис. 1), подсчитав число экспериментальных данных, попавших в каждый интервал.

 

 

Рис.1. Гистограмма распределений результатов измерений

 

Далее, строим полигон распределения (рис. 2), который представляет собой кусочно-линейную аппроксимацию искомой функции плотности распределения результатов измерения.

 

Рис. 2. Полигон распределения результатов измерения

 

Б) ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

 

Нормальный закон распределения, называемый часто распределением Гаусса описывается зависимостью

 

где σ – параметр рассеивания распределения, равный среднему квадратическому отклонению.

 

 

Широкое использование нормального распределения на практике объясняется теоремой теории вероятностей, утверждающей, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений формируются под действием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

При количестве измерений n < 10 проверить гипотезу о виде распределения результатов измерения невозможно.

При числе данных 10 < n < 50 также трудно судить о виде распределения. Поэтому для проверки соответствия распределения данных нормальному распределению используют составной критерий. Если гипотеза о нормальности отвергается хотя бы по одному из критериев, считают, что распределение результатов измерения отлично от нормального.

 

Критерий 1. Вычисляют значение d по формуле

 

где S ^* – смещенное СКО;

 

 

Гипотеза о нормальности подтверждается, если

 

где процентные точки распределения значений d, которые находятся по табл. 18.

 

Таблица № 18

Значения процентных точек q для распределения d

Критерий 2. Гипотеза о нормальности распределения результатов измерения подтверждается, если не более m разностей превзошли значения S×z_p/2. Здесь z_p/2 – верхняя 100 ∙ P/2 – процентная точка нормированной функции Лапласа

Значения доверительной вероятности P выбирают из табл. 19.

Таблица № 19

Значения доверительной вероятности Р

 

Пример

 

В табл. 19 приведены результаты измерения угла одним оператором, одним и тем же теодолитом, в одних и тех же условиях. Проверить, можно ли считать, что приведенные в табл. 20 данные принадлежат совокупности, распределенной нормально.

Таблица № 20

Результаты исследований

 

 

Оценка измеряемой величины равна

 

Средние квадратические отклонения S и S^* найдем по формулам:

 

 

 

Оценка параметра d составит

 

 

Уровень значимости критерия 1 примем q = 2%. Из табл. 18 находим d _1% = = 0,92 и d _99% = 0,68. При определении d _1% и d _99% использовалась линейная интерполяция ввиду того, что значение n = 14 в таблице отсутствует. Критерий 1 выполняется, так как В нашем случае это – 0,68 < 0,88 < 0,92.

Применим критерий 2. Выбрав уровень значимости q = 0,05 для n =14 из табл. 11, найдем Р = 0,97. Из табл. 21 определим z_p/2 = 2,17. Тогда

 

S ∙ z_p/2 = 3,245 ∙ 2,17 = 7,042.

 

Таблица № 21

Значения Р- процентных точек нормированной функции Лапласа

Согласно критерию 2, не более одной разности может превзойти 7,042. Из данных табл. 20 следует, что ни одно отклонение не превосходит 7,042.

Следовательно, гипотеза о нормальности распределения данных подтверждается. Уровень значимости составного критерия: q £ 0,02 + 0,05 = 0,07, т. е. гипотеза о нормальности распределения результатов измерения подтверждается при уровне значимости не более 0,07.

 

Задание

 

Произвести проверку нормальности распределения измерений по данным приведенным в таблице № 22 и по полученным данным построить гистограмму распределений или полигон распределения.

Таблице № 22

 

Задача 4