Свойство статистической устойчивости относительной частоты события

Определение. Пусть в n повторяющихся опытах (испытаниях) некоторое событие А наступило n_A раз.

Число n_A называется частотой события А, а отношение

называется относительной частотой (или частостью) события А в рассматриваемой серии испытаний.

Свойства относительной частоты

Относительная частота события обладает следующими свойствами.

1. Частота любого события заключена в интервале от нуля до единицы, т.е.

2. Частота невозможного события равна нулю, т.е.

Ø

3. Частота достоверного события равна 1, т.е.

4. Частота суммы двух несовместных событий равна сумме частот (частостей) этих событий, т.е. если =Ø, то

Частость обладает свойством, называемым свойством статистической устойчивости: с увеличением числа опытов (т.е. с увеличением n) частость события принимает значения, близкие к вероятности этого события р.

Определение. Статистической вероятностью события А называется число, около которого колеблется относительная частота события А при достаточно большом числе испытаний (опытов) n.

Вероятность события А обозначается символом Р (А) или р (А). Появление в качестве символа понятия «вероятность» буквы р определяется ее наличием на первом месте в английском слове probability – вероятность.

Согласно данному определению

Свойства статистической вероятности

1. Статистическая вероятность любого события А заключена между нулем и единицей, т.е.

2. Статистическая вероятность невозможного события (А = Ø) равна нулю, т.е.

(Ø)=0.

3. Статистическая вероятность достоверного события (А = Ω) равна единице, т.е.

(Ω) = 1.

4. Статистическая вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А·В = Ø, то

Классическое определение вероятности

Пусть проводится опыт с n исходами, которые можно представить в виде группы несовместных равновозможных событий. Случай, который приводит к появлению события А, называется благоприятным или благоприятствующим, т.е. случай w влечет за собой событие А, w А.

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев, т.е.

Свойства «классической» вероятности

1. Аксиома неотрицательности: вероятность любого события А неотрицательна, т.е.

Р (А) ≥ 0.

2. Аксиома нормированности: вероятность достоверного события (А = Ω) равна единице:

(Ω) = 1.

3. Аксиома аддитивности: вероятность суммы несовместных событий (или вероятность появления одного из двух несовместных событий) равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А·В =Ø, то

Вероятность события : Р () = 1 – Р (А).

Для вероятности события, являющегося суммой любых двух событий А и В, справедлива формула:

.

Если события А и В не могут произойти в результате одного испытания одновременно, т.е. иными словами, если А·В – невозможное событие, то их называют несовместимыми или несовместными, и тогда Р (А·В) = 0 и формула вероятности суммы событий приобретает особенно простой вид:

Если же события А и В могут произойти в результате одного испытания, то их называют совместимыми.

 

Полезный алгоритм

При нахождении вероятностей с использованием классического определения вероятности следует придерживаться следующего алгоритма.

1. Необходимо четко осмыслить, в чем состоит эксперимент.

2. Четко сформулировать, в чем состоит событие А, вероятность которого необходимо найти.

3. Четко сформулировать, что будет в рассматриваемой задаче составлять элементарное событие. Сформулировав и определив элементарное событие, следует проверить три условия, которому должно удовлетворять множество исходов, т.е. Ω.

4. Подсчитать «мощность» Ω, т.е. количество исходов n.

5. Подсчитать число благоприятных исходов, т.е. мощность подмножества А благоприятствующих исходов, составляющую m.

6. Следуя классическому определению вероятности, определить

 

При решении задач наиболее распространенной ошибкой является нечеткое понимание того, что берется в качестве элементарного события w, а от этого зависит правильность построения множества и правильность вычисления вероятности события. Обычно на практике в качестве элементарного события берут простейший исход, который нельзя «расщепить» на более простые.