Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 4.

Схема с возвращением. Перестановки, Сочетания, Размещения

Лекция 4

Задача 1–Т4. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, если цифры в числах могут повторяться?

 

Задача 2–Т4 (для самостоятельного решения). Подсчитайте, сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5.

 

Задача 3-Т4. Из трех элементов a, b, c составить все размещения по два элемента с повторениями.

 

Задача 4-Т4 (для самостоятельного решения). Из элементов (цифр) 2, 4, 5 составить все размещения с повторениями по два элемента.

 

Задача 5-Т4. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры:

а) 2, 5, 7, 8;

б) 0, 1, 9.

 

Задача 6–Т4. В качестве некоторого пароля можно использовать в любом порядке латинские буквы, цифры и символ подчеркивания. Пароль к регистру нечувствителен. Пользователь составил пароль из 4 знаков. Сколько всевозможных вариантов таких паролей может быть?

 

Задача 7-Т4. Из трех элементов a, b, c составить все сочетания по два элемента с повторениями.

 

Задача 8-Т4 (для самостоятельного решения). Из элементов (цифр) 2, 4, 5 составить все сочетания с повторениями по два элемента.

 

Задача 9–Т4. В продаже имеются пирожные 7 различных видов. Пирожные одного и того же вида считаем неразличимыми. Сколько существует различных способов покупки 12 пирожных?

 

Задача 10–Т4. Сколько различных слов, каждое из которых состоит из семи букв можно составить из букв слова «КОРОБОК»?

 

Задача 12-Т4. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3, 3, 5, 5, 8?

 

Задача 13-Т4 (для самостоятельного решения). У девочки имеется 2 белых бусины, 3 синих и 1 красная. Сколькими способами их можно нанизать на нитку?

 

Задача 14-Т4. На шести карточках написаны буквы, из которых можно составить слово АНАНАС. Сколько существует различных шестибуквенных слов, которые можно составить при помощи этих шести карточек?

 

Задача 15-Т4. В почтовом отделении имеются открытки 6 видов. Какова вероятность того, что среди 4 проданных открыток:

а) все открытки одинаковы?

б) различны?

Семинар 4

Задача 1С-Т4. Сколькими способами можно составить букет из пяти цветов, если в наличии имеются цветы трех сортов?

 

Задача 2С–Т4. На почте имеются марки десяти различных типов. Покупается 15 марок. Сколько существует способов покупки 15 марок?

 

Задача 3С-Т4. Сколько различных «слов» (под словом понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в словах:

а) АГА?

б) MISSISSIPPI?

 

Задача 4С-Т4. В магазине имеется 7 видов тортов.

а) Сколькими способами можно составить набор, содержащий три торта?

б) А если имеются 3 вида тортов, а нужен набор из семи тортов?

 

Задача 5С-Т4. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколькими способами можно пробрести в ней:

а) 3 пирожных одного вида?

б) 5 пирожных?

в) Какова вероятность того, что три выбранных наудачу пирожных будут одинаковы?

 

Задача 6С-Т4. 12 человек прибыли в гостиницу, в которой есть один четырехместный, два трехместных и один двухместный номера. Сколько существует способов их размещения?

 

Задача 7С-Т4. Пять человек вошли в лифт на первом этаже девятиэтажного дома. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта на нужных этажах?

 

Задача 8С-Т4. В лифт 9-этажного дома на 1-м этаже зашли 4 человека. Сколько различных вариантов их выхода может быть? Различными считаются варианты, отличающиеся только количеством людей, выходящих на данном этаже.

 

Задача 9С-Т4. В условиях предыдущей задачи найти количество вариантов, при которых на пятом этаже, выйдут точно 2 человека.

 

Задача 10С-Т4. На основе двух предыдущих задач найдём вероятность того, что из 4-х пассажиров, зашедших в лифт на 1-м этаже 9-этажного дома, на пятом этаже выйдут ровно 2 человека.

 

Задача 11С-Т4 (дополнительная). Найти число различных перестановок из знаков:

«+», «+», «+», «+», «-», «-», «-».

 

Домашнее задание 4 - Тема 4.

Схема с возвращением. Перестановки, Сочетания, Размещения

Задача 1Д-Т4. Сколькими способами можно разместить в двух комнатах 9 различных предметов?

 

Задача 2Д-Т4. Сколькими способами можно разделить 6 разных книг между 3 школьниками?

 

Задача 3Д-Т4. В почтовом отделении продаются открытки 6 видов. Сколькими способами можно приобрести в нем:

а) 4 открытки?

б) 4 одинаковые открытки?

в) 4 разные открытки?

Какова вероятность каждого из этих событий?

 

Задача 4Д-Т4. Сколько различных букетов по 5 цветков можно составить, если в наличии есть достаточно много цветков четырех видов?

 

Задача 5Д-Т4. У врача есть 3 вида одного лекарства, 2 вида – другого и 4 вида – третьего. В течение 9 дней он каждый день предлагает больному по одному лекарству. Сколькими способами он может выделить больному лекарства?

 

Задача 6Д–Т4. На десяти карточках написаны буквы так, что из этих букв можно сложить слово МАТЕМАТИКА. Сколько существует различных 10-буквенных слов, которые можно образовать при помощи этих карточек?

 

Задача 7Д–Т4 («чисто женская задача»). В гардеробе у дамы три кофточки, две юбки и двое туфель. Все вещи по стилю и цвету хорошо сочетаются. Сколько различных вариантов наряда можно составить, комбинируя эти вещи?

 

Задача 8Д-Т4. Сколько существует различных перестановок букв:

а) в слове ТРАКТАТ?

б) а в слове АААУУАУУУУ?

 

Задача 9Д-Т4. Сколько различных инициалов можно образовать, используя 5 первых букв русского алфавита?

 

Задача 10Д-Т4. Сколькими способами можно распределить 6 различных подарков между четырьмя ребятишками?

 

Задача 11Д-Т4. Сколькими способами можно составить набор из 6 пирожных, если имеется только 4 вида пирожных?

 

Задача 12Д-Т4. Группа учащихся 5-7 классов из 8 человек отправляется в путешествие по Крыму. Сколькими способами можно составить группу из учащихся 5-7 классов?

 

Задача 13Д-Т4. а). Сколькими способами можно распределить 4 книги на трех полках книжного шкафа? б). Найти количество способов расстановки книг на полках, если порядок расположения книг не имеет значения.

 

Задача 14Д-Т4. Известно, что 7 студентов сдали экзамен по теории вероятностей на «хорошо» и «отлично». Сколькими способами могли быть поставлены им оценки?

 

Задача 15Д–Т4. Местком состоит из 7 человек. Из своей среды он выбирает президиум в составе трех человек: председателя месткома, заместителя председателя месткома, секретаря месткома. Сколько существует различных способов образования президиума месткома?

 

Задача 16Д–Т4. На каждой из 9-ти карточек написана одна цифра от 1 до 9 без повторений. Располагая любые три карточки «в строку», мы получим трехзначное число.

а) Сколько различных трехзначных чисел можно изобразить с помощью этих 9 карточек?

б) сколько различных пятизначных чисел можно изобразить из этих 9 карточек

в) Сколько различных девятизначных чисел можно изобразить, используя карточки?

 

Задача 17Д-Т4. Десять студентов, среди которых Федин и Шилов, случайным образом занимают очередь в библиотеку. Сколько имеется вариантов расстановки студентов, когда между Фединым и Шиловым окажутся 6 студентов?

 

Задача 18Д-Т4. У одного школьника имеется 7 марок для обмена, а у другого – 16. Сколькими способами они могут осуществить обмен:

а) марка на марку?

б) две марки на две марки?

 

Задача 19Д-Т4. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 5 шаров, чтобы среди них было:

а) 5 черных?

б) 3 белых и 2 черных?

 

Задача 20Д-Т4. Сколькими способами можно распределить 15 выпускников по трем районам, если в одном из них имеется 8, в другом – 5 и в третьем – 2 вакантных места?

 

Задача 21Д-Т4. Игральная кость (на ее шести гранях нанесены цифры от 1 до 6) бросается три раза. Сколько существует вариантов выпадения очков в данном опыте? Напишите некоторые из них.

 

Задача 22Д-Т4. Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове: а) ГОРА; б) ИНСТИТУТ?

 

Задача 23Д-Т4. Сколько существует способов размещения 9 человек в двухместный, трехместных и четырехместный номера гостиницы?

 

Задача 24Д-Т4. Сколькими способами можно распределить 16 видов товаров по трем магазинам, если в первый магазин надо доставить 9, во второй – 4, а в третий – 3 вида товаров?

 

Задача 25Д-Т2. В цветочном киоске 7 видов цветов. Сколькими разными способами можно составить букет из трех цветов?

 

Задача 26Д-Т4. Найти число различных перестановок из знаков «+»,«+»,«+»,«+»,«-»,«-», «-».

 

Тема 5. Геометрическое определение вероятности. Субъективная вероятность. Примеры вычисления вероятностей. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие

Субъективная вероятность

Как мы оцениваем вероятность события? Во многих реальных ситуациях определение вероятности уже рассмотренными нами «классическими» способами невозможно, и тогда на первый план выступает понимание вероятности как меры достоверности того или иного события, которая зависит от:

- Репрезентативности выбранной группы,

- Доступности информации,

- Подверженности «ошибкам игрока в казино».

Субъективность в оценке ситуации порождается неопределенностью ситуации.