Тема 8. Задачи, рассмотренные на лекции 8

Задача 1-Т8. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% женщин страдают дальтонизмом. Для простоты будем считать, что мужчин и женщин в популяции одинаковое количество. Какова вероятность того, что выбранный наугад человек страдает дальтонизмом?

Задача 2–Т8. В вопросах для подготовки к зачету имеется 75% вопросов, на которые студенты знают ответы. Преподаватель выбирает из списка вопросов для подготовки два вопроса и задает студенту. Определить вероятность того, что среди вопросов есть хотя бы один, на который он знает ответ.

 

Задача 3–Т8. В трех одинаковых урнах лежат шары: в первой — 5 белых и 3 черных, во второй — 2 белых и 6 черных, в третьей — 3 белых и 1 черный. Из случайно выбранной урны вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.

 

Задача 4–Т8. В каждой из двух урн находится 9 белых и 14 чёрных шаров. Из первой урны во вторую переложили наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наудачу один шар. Найти вероятность того, что шар, вынутый из второй урны, окажется чёрным.

 

Задача 5-Т8. 45% телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на первом заводе, 15% телевизоров изготовлены на втором заводе, а остальные – на третьем заводе. Вероятности того, что телевизоры, изготовленные на этих заводах, не потребуют гарантийного ремонта, равны 0,96; 0,84 и 0,90 соответственно. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы.

 

Задача 6-Т8. Партия деталей содержит 20% деталей, изготовленных заводом I, 30% — заводом II, 50% — заводом III. Для завода I вероятность выпуска бракованной детали равна 0,05, для завода II — 0,01, для завода III — 0,06. Чему равна вероятность, что наудачу взятая из партии деталь окажется бракованной?

 

Задача 7-Т8. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий товара, поступивших на склад, с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятность того, что лампы, принадлежащие к каждой из трех партий, проработают установленное ГОСТом число часов, составляют соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить, что наугад взятая лампа проработает заданное число часов.

 

Задача 8-Т8. По самолету производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле составляет 0,40, при втором – 0,50, а при третьем выстреле – 0,70. При одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,20, при двух попаданиях – с вероятностью 0,60, а при трех попаданиях – 1,0. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет сбит.

 

Задача 9-Т8. В сборочный цех поступают детали с трех поточных линий. Производительности этих линий относятся как 5: 3: 2. Вероятность брака для первой линии составляет 0,01; для второй линии – 0,02; для третьей линии – 0,03. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь бракована.

 

Задача 10-Т8 (самостоятельно). На уничтожение цели противника вылетело два самолета разных типов. Самолет первого типа может уничтожить цель с вероятностью 0,9, а самолет второго типа – с вероятностью 0,8. Однако противовоздушная оборона противника может сбить самолет первого типа с вероятностью 0,95, а самолет второго типа – с вероятностью 0,85. Какова вероятность уничтожения цели?

 

Задача 11-Т8 (дополнительно). Имеются три урны. В первой урне 3 белых и 2 черных шара. Во второй урне 2 белых и 3 черных шара, а в третьей – 4 белых и 2 черных шара. В первую урну из второй урны перекладывают два шара, а из третьей урны – 3 шара. Шары первой урны перемешивают и берут из нее 2 шара. Найдите вероятность того, что оба шара белые.

 

Тема 8. - Домашнее задание 8.

Формула полной вероятности

 

Задача 1Д-Т8. Найти вероятность того, что при первом бросании игральной кости появятся 6 очков, а при втором – нечетное число очков.

 

Задача 2Д-Т8. В изготовленной партии детских мячей вероятность появления бракованного мяча составляет 0,004. В красный цвет окрашены ¾ всего количества мячей, а остальные – в синий. Какова вероятность того, что наугад вытащенный мяч будет небракованным и красным?

 

Задача 3Д-Т8. Выяснить, являются ли независимыми события А и В, если:

1) игральная кость бросается дважды. Событие А = {при первом бросании выпало 2 очка}, событие В = {при втором бросании выпало 5 очков}?

2) брошены две игральные кости. А = {на первой кости появилось 6 очков}, В = {на второй кости появилось также 6 очков}?

3) из колоды карт дважды вынимают по одной карте, возвращая вынутую карту обратно в колоду. А = {первой вынута Дама пик}, В = {второй также вынута Дама пик}?

4) из колоды карт дважды вынимают по одной карте, не возвращая их в колоду. А = {первой вынута Шестерка треф}, В = {вторым вынут Король пик}?

 

Задача 4Д-Т8. В выпущенной заводом партии деталей 2% брака и 0,3 от числа всех деталей окрашены в зеленый цвет. Какова вероятность того, что случайным образом вынутая из партии деталь окажется неокрашенной небракованной деталью?

 

Задача 5Д-Т8. В урне лежат 2 белых, 3 красных и 5 черных шаров. Дважды вынимают по одному шару и возвращают их обратно в урну. Какова вероятность того, что

1) первым вынут красный шар, а вторым – черный?

2) первым вынут черный шар, а вторым – белый?

 

Задача 6Д-Т8. Полная колода карт (52 листа) наугад делится на две стопки по 26 листов в каждой. Найти вероятность того, что в каждой стопке окажется по два Туза.

 

Задача 7Д-Т8. В розыгрыше первенства страны по волейболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируют две группы по 9 команд в каждой. Среди участников первенства имеется 5 команд высшего класса. Найти вероятность того, что все команды высшего класса попадут в одну и ту же группу.

 

Задача 8Д-Т8. Студент знал ответы на 15 вопросов из предложенных к зачету 20. Ответа на первый вытащенный им вопрос он не знал. Какова вероятность того, что студент ответит на второй из вытащенных им вопросов?

 

Задача 9Д-Т8. Вероятность попадания по мишени для стрелка составляет 0,9. Какова вероятность того, что после двух выстрелов в мишени окажется одна пробоина?

 

Задача 10Д-Т8. Из 30 студентов 11 занимаются футболом, 6 волейболом, 8 бегом, а остальные – легкой атлетикой. Какова вероятность того, что один произвольно выбранный студент а) не занимается легкой атлетикой?

б) занимается игровым видом спорта?

 

Задача 11Д-Т8. Две девушки пишут друг другу записки. Вероятность того, что первая из них допустит ошибку, составляет 60%, а вероятность допустить ошибку у второй девушки – 40%. Найдите вероятность того, что а) обе девушки напишут текст без ошибок;

б) первая из них напишет без ошибок, а вторая ошибется?

 

Задача 12Д-Т8. Монету бросают 6 раз подряд. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз выпадет Решка.

 

Задача 13Д-Т8. В беспроигрышной лотерее выпущено 10.000 билетов, среди которых: 100 выигрышей по 1000 рублей; 200 выигрышей по 500 рублей; 1000 выигрышей по 100 рублей, а остальные билеты выигрывают по 1 рублю. Какова вероятность того, что при покупке одного билета выигрыш составит:

а) не более 200 рублей?

б) более 200 рублей?

 

Задача 14Д-Т8. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания первого стрелка составляет 90%, второго – 80%, третьего – 70%. Найдите вероятность того, что: а) все три стрелка поразят мишень; б) двое из трех стрелков промахнутся?

 

Задача 15Д-Т8. Монету бросают 5 раз подряд. Найдите вероятность того, что Решка выпадет не более двух раз.

 

Тема 9. Формула Байеса (формула гипотез, формула апостериорной вероятности). – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие

 

Если событие А может произойти одновременно с одним из событий Н ₁, Н ₂, …, Н _n, называемых гипотезами, представляющих собой так называемую полную группу попарно несовместных событий (то есть в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно событие из этой группы), то вероятность события определяется по формуле полной вероятности:

=

Или в краткой записи:

.

Здесь Р (Н _i) — вероятность - ой гипотезы, а P (A|H_i) - условная вероятность события при осуществлении данной гипотезы Н_i.

Если известно, что в результате опыта событие произошло, то эта информация может изменить вероятности гипотез: повышаются вероятности тех гипотез, при которых событие происходит с большей вероятностью, и уменьшаются вероятности остальных. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется так называемая теорема гипотез, или формула Байеса:

(В знаменателе дроби в правой части равенства стоит полная вероятность события ).