Решение уравнения Шредингера для простейших случаев: свободная частица и частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

Для свободной частицы потенциальная энергия U ≡ 0. Уравнение Шредингера (7.3) в этом случае выглядит следующим образом:

Для частицы, движущейся вдоль оси х, волновая функция ψ = ψ(х) и уравнение еще упрощается:

Решением этого уравнения будет экспоненциальная функция:

проверить это легко прямой подстановкой. При этом для энергии E получаем, как и следовало ожидать,

здесь p_x = mv - импульс частицы.

Мы видим, что у свободной частицы энергия E и импульс p_x могут принимать любые значения, т.е. не квантуются.

Полную волновую функцию Ψ(x, t) получим, домножив ψ(x) на временной множитель (см. (28.1)):

Это есть не что иное, как уравнение волны де Бройля (6.2).

В случае бесконечно глубокой одномерной потенциальной ямы шириной а потенциальная энергия:

Изобразим график U(x) (см. рис. 7.1). Если частица находится в яме, то ее координата х может изменяться от нуля до a. За пределы ямы частица выйти не может, т.к. там потенциальная энергия бесконечно велика (стенки ямы бесконечно высоки). Значит вероятность обнаружить частицу в любом месте за пределами ямы равна нулю (dw = 0).

Рис. 7.1

В одномерном случае из (6.3) получим:

Откуда следует, что за пределами ямы волновая функция ψ тождественно обращается в ноль.

Из условия непрерывности волновой функции следует, что внутри ямы она должна так зависеть от координаты х, чтобы обращаться в ноль на границах ямы. Значит граничные условия на волновую функцию ψ будут иметь следующий вид:

Внутри ямы U ≡ 0 и уравнение Шредингера будет иметь такой же вид, как и для свободной частицы (7.10):

или

Так как E = p²/2m, то для коэффициента при ψ имеем:

 

Откуда энергия частицы:

Здесь - волновое число.

В результате уравнение Шредингера примет вид хорошо известного нам дифференциального уравнения:

Решением этого уравнения, как известно, являются гармонические функции (синус или косинус) и мнимая экспонента. Здесь нам удобнее взять функцию "синус" с нулевой начальной фазой. Тогда ψ(x) - волновая функция частицы, будет иметь следующий вид:

Постоянная С будет найдена позднее из условия нормировки (7.14).

Т.к. sin 0 = 0, то граничное условие на левой границе (ψ(0) = 0) автоматически выполняется. Потребуем выполнения граничного условия на правой границе:

Это граничное условие будет выполнено, если

Значение целого числа n = 0 хотя и удовлетворяет граничному условию, но оно тождественно обращает волновую функцию в ноль (отсутствие частицы в яме!) и поэтому не годится.

Отрицательные значения n не приводят к появлению новых состояний: при изменении знака n меняется знак ψ, тогда как вероятность не меняется.

В результате мы получили, что вследствие граничных условий волновое число k может принимать лишь дискретные значения:

где квантовое число n принимает любые положительные целые значения, начиная с 1. С аналогичной ситуацией мы уже встречались при рассмотрении колебаний струны, закрепленной с двух концов (см. Ч. 3, лекция N 6, § 6).

С волновым числом k связана энергия частицы E (7.16). Следовательно, квантование волнового числа приводит к квантованию энергии частицы в потенциальной яме:

Подставляя сюда k_n из (7.20), получим формулу для стационарных состояний энергии частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a:

Схема энергетических уровней частицы в яме выглядит следующим образом:

Рис. 7.2

Расстояния между соседними уровнями:

Оценим ΔE_n для молекулы (m ~ 10^-26 кг), находящейся в сосуде размером a ~ 0,lм.

Расстояния между уровнями в этом случае столь малы, что их дискретность совершенно несущественна. Ситуация меняется, если аналогичную оценку сделать для электрона (m_e = 9,1?·10^-31 кг), локализованного в области порядка атомных размеров (a ~ 10^-10 м).

В этом случае:

и дискретность уровней будет определять поведение частицы.

Условие нормировки (6.5) для нашей волновой функции (7.18) имеет следующий вид:

Интеграл равен a /2, значит

Подставляя константу C в волновую функцию (7.18) и учитывая условия квантования для волнового числа k (7.20), получим нормированные волновые функции для частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме:

Каждая из этих волновых функций задает квантовое состояние частицы с квантовым числом n.

В соответствии с вероятностным смыслом волновой функции (6.3) вероятность dw_n обнаружить нашу частицу в интервале от x до x + dx, если она находится в квантовом состоянии ψ_n, дается следующим выражением:

Плотность вероятностиобнаружения частицы:

Графики волновых функций первых двух квантовых состояний и соответствующие графики плотности вероятности приведены на рисунках 7.3а,б.

Рис. 7.3 а,б

Из графика плотности вероятности для состояния с n = 2 видно, что точно посередине ямы частица не может быть обнаружена, т.к. там ψ₂² = 0. По классическим же представлениям частица должна была двигаться равномерно внутри ямы, отражаясь от ее стенок. Ясно, что при этом все положения частицы в яме равновероятные.

Итоги лекции N 7

1. Волновое уравнение для функции Ψ получено в 1926 г. Э. Шредингером и носит его имя - уравнение Шредингера. Для одной частицы, Движущейся во внешнем поле, оно имеет следующий вид (см. (7.1)):

здесь - оператор Лапласа, в декартовой системе координат он имеет следующий вид:

U - потенциальная энергия частицы во внешнем поле, которая может зависеть и от времени;

- мнимая единица.

1. В случае, если внешнее поле, в котором движется частица, не зависит от времени (т.е. U ≠ U(t)), то волновая функция может быть представлена в следующем виде (см. (7.2)):

здесь Е - полная энергия частицы в стационарном состоянии, ψ(x,y,z) - координатная волновая функция.

1. Для координатной волновой функции справедливо уравнение Шредингера для стационарных состояний (см. (7.3)):

1. Квадраты модулей полной Ψ и координатной y волновых функций совпадают:

таким образом, |ψ|² в случае стационарных состояний определяет плотность вероятности обнаружения частицы.

1. Для свободой частицы U = 0 и решением уравнения Шредингера является уравнение волны де Бройля (см. (7.13)):

1. Для частицы, движущейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме (см. рис. 7.1), из уравнения Шредингера вытекает следующая формула для энергии стационарных состояний (см. (7.21)):

здесь а - размер ямы; m - масса частицы, n - целое число, n = 1,2...

Таким образом, уравнение Шредингера предсказывает квантование энергии микрочастицы, движущейся в ограниченной области.

1. Волновая функция частицы, движущейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме имеет следующий вид (см (7.22)):

.

 

ЛЕКЦИЯ N 8