Электронный газ в модели бесконечно глубокой трехмерной потенциальной ямы

Перейдем к описанию электронов в модели трехмерной потенциальной ямы. В первом приближении ее можно считать бесконечно глубокой. Пусть образец имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами Δx, Δy, Δz.

В трехмерном случае фазовое m-пространство для частицы - это шестимерное пространство, по осям которого откладываются три координаты x, y, z и три компоненты импульса p_x, p_y, p_z частицы. Объем фазового пространства кубической формы , здесь ΔV - обычный пространственный объем области, в которой находится частица. Объем элементарной фазовой ячейки в трехмерном случае можно найти из соображений, аналогичных тем, что были изложены выше для одномерного случая. В результате получим, что

Для числа состояний ΔZ в трехмерном случае имеем:

Теперь определим энергию Ферми в трехмерной яме. Как и в одномерном случае энергия Ферми E_F(0) - это энергия электронов на высшем еще заполненном уровне при T = 0. При T = 0 в соответствии с принципом Паули (лекция N 9, § 1) каждое квантовое состояние с E < E_F(0) будет занято одним из общего числа N электронов. Значит, для нахождения E_F(0), нам надо найти зависимость числа состояний ΔZ от энергии E, затем приравнять число состояний с энергией E ≤ E_F(0) числу частиц и выразить из этого равенства E_F(0). Реализуем последовательно эту программу.

Число состояний ΔZ в фазовом объеме ΔГ определяется формулой (10.5).

Фазовый объем ΔГ состояний с импульсом p < p_F(0) определим из следующих соображений.

Так как полная энергия E электронов внутри потенциальной ямы равна кинетической, то

Значит состояния с E ≤ E_F(0) - это состояния, у которых модуль импульса электронов лежит в пределах от нуля до В подпространстве импульсов этим состояниям соответствует сфера радиусом p_F(0). Умножив "объем" этой сферы на объем ямы V получим интересующий нас объем фазового пространстве ΔГ, т.е.

(10.6)

Из (10.5) и (10.6) получим число состояний ΔZ(p) с учетом спина:

Выразим p_F(0) через E_F(0). Т.к. , то

откуда для числа состояний ΔZ(E) с энергией меньше, чем E_F(0):

(10.7)

В дальнейшем нам потребуется выражение для числа состояний на единичный энергетический интервал - плотность состояний g(E).

Очевидно, что

(10.8)

Продифференцировав по Е_F формулу (10.7), получим

Здесь мы заменили Е_F на Е,

Приравняв ΔZ(E_F) (10.7) числу электронов в яме N, получим

Выразим отсюда E_F(0):

здесь - концентрация электронов.

Выразив h через , получим окончательную формулу для E_F(0) - энергии Ферми для электронного газа в трехмерной потенциальной яме:

Температурой Ферми T_F - называют отношение энергии Ферми E_F(0) к постоянной Больцмана k, т.е.

Оценим энергию Ферми E_F(0) и температуру ФермиT_F.

Концентрация свободных электронов в металле порядка 10²⁸÷10²⁹ м^-3. Для n = 5·10²⁸ м^-3 из (10.8) получим:

Для T_F из (10.9) получим:

Итоги лекции N 10

1. Поведение валентных электронов в металлах можно объяснить на основе модели потенциальной ямы. При низких температурах, когда тепловое движение не способно удалить электроны из металла, потенциальную яму можно читать бесконечно глубокой.

2. При Т = 0 учет принципа Паули приводит к последовательному увеличению энергии электронов при заполнении ими квантовых состояний.

3. Энергия Ферми E_F(0) - это энергия электронов на высшем, еще заполненном уровне при Т = 0 К.

4. Квантовая теория свободных электронов в металле для модели трехмерной потенциальной ямы (см. § 2) дает следующую формулу для энергии Ферми (см (10.10)):

здесь - концентрация электронов.

5. Оценки дают для E_F(0) значение около 5 эВ.

 

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ

ЛЕКЦИЯ N 11

Электронный газ при Т > 0. Распределение Ферми-Дирака. Анализ функции f(Е)

§ 1. Электронный газ при T > 0. Распределение Ферми-Дирака

Рис. 11.1

На приведенных выше рисунках 11.1 изображена одномерная потенциальная яма, заполненная электронным газом; на рис. а) при T = 0, на рис. б) при T > 0. Слева от потенциальной ямы изображены графики зависимости среднего по времени числа электронов в одном квантовом состоянии - <n(E)> - от энергии электронов E. Энергия E отложена по вертикальной оси, проходящей вдоль левой границы ямы, сама функция <n(E)> отложена по горизонтальной оси, направленной влево.

При T = 0K электроны занимают все доступные им состояния с наинизшей энергией. В соответствии с принципом Паули в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона, поэтому все нижние квантовые состояния до энергии E_F(0) заняты. Таким образом, график функции <n(E)> представляет из себя ступеньку:

<n(E)> = 1 при E < E_F(0) и <n(E)> = 0 при E > E_F(0).

При нагревании металла часть электронов, энергия которых была близка к энергии Ферми, переходят в состояния с большей энергией, частично освобождая квантовые состояния с энергией E < E_F(0): ступенька графика <n(E)> размывается.

Аналитическую зависимость среднего числа ферминов в одном квантовомсостоянии от их энергии и температуры получили итальянский физик Э. Ферми и английский физик П. Дирак.

Она имеет следующий вид:

и называется распределением Ферми-Дирака. Параметр E_F, входящий в распределение Ферми-Дирака, называется уровнем Ферми. В статистической физике этот параметр называется химическим потенциалом, его обозначают буквой µ, таким образом µ ≡ E_F.

Среднее число электронов в одном квантовом состоянии <n(E)> изменяется от нуля до единицы, в этих же пределах изменяется вероятность f(E_i) заполнения данных квантовых состояний.

Таким образом

С учетом того, что E_F ≡µ, функцию распределения Ферми-Дирака можно записать в таком виде:

Значение уровня Ферми E_F (или химического потенциала µ) определяют из условия нормировки функции f(E_i): полное число электронов, находящихся во всех квантовых состояниях должно быть равно числу N свободных электронов в рассматриваемом объеме V.

Среднее число электронов в одном квантовом состоянии дается функцией Ферми-Дирака f(E_i) (11.1а). Так как расстояния между соседними уровнями при макроскопических объемах образца малы, то можно считать, что энергия меняется непрерывным образом, т.е. f(E_i) → f(E).

Число квантовых состояний, приходящихся на интервал энергий dE получим, умножив плотность состояний g(E) (10.9) на dE. Число электронов dN, имеющих энергию в интервале от E до E+dE, получим, умножив f(E) на g(E)dE, т.е.

Наконец, проинтегрировав dN, получим N - полное число электронов в образце:

Это и есть условие нормировки функции распределения Ферми-Дирака.

Значение E_F (или химический потенциал µ) можно найти, подставив в условие нормировки (11.2) f(E) из (11.1а) и g(E) из (10.9). Однако аналитическое выражение для получающегося интеграла отсутствует. При не очень высоких температурах, таких, что kT << E_F, для уровня Ферми получается приближенное выражение:

Здесь E_F(0) определяется формулой (10.9).

§2. Анализ функции f(E)

Выпишем функцию распределения Ферми-Дирака в следующем виде:

Нетрудно убедиться, что при E = E_F функция f(E) = 1/2.

Поведение функции f(E) (и электронного газа в металле) зависит от соотношения между температурой металла T и температурой Ферми (10.11).

При T << T_F (т.е. kT << E_F) электронный газ называют вырожденным и график функции f(E) незначительно отличается от ступени. В самом деле, показатель экспоненты (E - E_F) / kT будет велик по модулю всюду, за исключением интервала энергий, в котором (E - E_F) ≤ kT. При этом, если E < E_F, то (E - E_F) / kT будет величиной отрицательной и большой по модулю, значит экспонента будет близка к нулю, а f(E) ≈ 1. В случае, если E > E_F, показатель экспоненты будет большой положительной величиной и f(E) ≈ 0.

Запишем результаты анализа в следующем виде:

Из оценок, сделанных в § 2 лекция 10, T_F ≈ 60000K, значит вплоть до T_пл - температуры плавления металлов, электронный газ вырожден (самый тугоплавкий металл, вольфрам, имеет T_пл ≈ 3693K).

При T >> T_F электронный газ называется невырожденным. В этом случае график функции f(E) идет полого спадая и уже совсем не похож на ступеньку.

На рисунке 11.2 приведены графики функции f(E) (11.4) для различных температур.

Рис. 11.2

При больших значениях энергии электронов, таких, что E - E_F >> kT, единицей в знаменателе функции f(E) (11.4) можно пренебречь, тогда для "хвоста " функции f(E) справедлива следующая формула:

что совпадает с распределением Максвелла-Больцмана (см. Ч. 3, (2.14)).

Итоги лекции N 11

1. Зависимость среднего числа фермионов в одном квантовом состоянии <n(E_i)> от их энергии и температуры называется распределением Ферми-Дирака (см. (11.1)):

здесь Е_F - уровень Ферми, параметр распределения, который определяют из условия нормировки. Другое название этого параметра - химический потенциал, который принято обозначать греческой буквой µ, т.е. E_F ≡ µ.

2. При не очень высоких температурах, когда kT<<E_F для уровня Ферми справедливо приближенное выражение (см. (11.3)):

здесь E_F(0) - энергия Ферми.

3. Так как среднее число фермионов в одном квантовом состоянии изменяется от 0 до 1, т.е. в тех же пределах, что и вероятность f(E_i) заполнения данных квантовых состояний, то для f(E_i) справедлива формула (11.1а), аналогичная формуле (11.1):

4. Анализ функции f(E) при Т=0 К дает следующие результаты:

5. При больших значениях энергии электронов, таких, что Е-Е_F>>kT, для "хвоста" функции f(Е) справедлива формула (11.5):

что совпадает с распределением Максвелла-Больцмана.

 

ЛЕКЦИЯ N 12