Уравнение остойчивости и его анализ

 

Чтобы установить связь характеристик остойчивости с главными размерениями судна рассмотрим известное выражение для начальной метацентрической высоты

 

h o = r o + z c – zg,

(5.2)

 

где r _o – метацентрический радиус, м; z_c, z _g – аппликаты центра величины и центра тяжести судна, м.

Величина метацентрического радиуса определяется

 

(5.3)

 

где I_x – момент инерции площади ватерлинии относительно продольной оси; V – объемное водоизмещение судна.

Если полагать, что форма корабельной ватерлинии заключена между двух крайних по форме – прямоугольной и ромбической (a = 0,5), для которых соответственно и , то можно заключить, что момент инерции ватерлинии растает с увеличением коэффициента a. Для всех ватерлиний, лежащих между ромбической и прямоугольной момент инерции можно выразить

 

(5.4)

 

Найдем показатель степени n, удовлетворяющий граничным условиям (прямоугольной и ромбической ватерлиниям). Для ватерлинии в виде ромба (a = 0,5) согласно (5.4) можно записать

или

откуда n=2.

Для прямоугольной ватерлинии (a = 1) условие выполняется при любом значении n.

Следовательно, удовлетворяя граничным условиям можно принять n = 2. Тогда подставив (5.4) в (5.3) метацентрический радиус будет

 

(5.5)

 

Однако реально ромбических ватерлиний в силу отсутствия у них требуемой плавности не бывает. Обеспечение их плавности приводит к S -образной ватерлинии, момент инерции которой несколько отличается от ромбической. Это обстоятельство в некоторой степени имеет место во всем диапазоне 0,5 < a < 1,0. Поэтому в выражение (5.5) вводится поправочный коэффициент К_r, с учетом которого получаем

 

(5.6)

 

Расчеты показывают, что для S -образных ватерлиний k_r»1,06 ± 0,05, для выпуклых k_r» 1,03 ± 0,05. А.П. Фан-дер-Флинт для ватерлиний описываемых параболой получил k_r = 1,05, что привело к известной формуле

 

(5.7)

 

Поэтому в общем случае выражение (5.6) можно представить

 

(5.8)

 

Аппликата центра величины может быть определена в зависимости от осадки судна

 

Z c = kZ T.

(5.9)

 

Анализируя строевые по ватерлиниям Л.П.Эйлер и В.А. Поздюнин получили

Аналогичные решения получены и другими авторами [6], которые показывают, что k_z зависит, прежде всего, от коэффициентов a и d. Поэтому в общем виде выражение (5.9) можно записать

 

z c = fZ (a, d) T.

(5.10)

 

Величина аппликаты центра тяжести судна связывается с его высотой борта

 

zg = kg H.

(5.11)

 

k_g – коэффициент, характеризующий зависимость аппликаты центра тяжести от высоты борта, зависит от типа судна.

Тогда, выражение для метацентрической высоты будет иметь вид

Разделив это выражение на ширину судна, получим, так называемое, уравнение остойчивости.

Обозначим и, умножив и разделив вычитаемое на Т, будем иметь

 

(5.12)

 

Из этого выражения видно, что основное влияние на остойчивость судна оказывает отношение В/Т. Поэтому рассматривая данный тип судна, можно поставить задачу определения значения В/Т, которое обеспечит требуемый уровень остойчивости h _o.

Для этого решим выражение (5.12) относительно b _т, которое после приведения к общему знаменателю буде иметь вид

Положительный корень этого уравнения дает выражение

 

(5.13)

 

которое позволяет находить отношение В/Т, обеспечивающее требуемую остойчивость, задаваемую величиной . Кроме того, из выражения (5.13) видно, что уровень остойчивости судна прямопропорционален величине этого отношения. Он объясняет известное обстоятельство, что грузовые суда внутреннего и смешанного плавания, являющиеся относительно низкобортными и поэтому, имея сравнительно низкие значения аппликаты центра тяжести (коэффициент К_g» 0,65), обладают избыточной остойчивостью. Это является следствием того, что их отношение В/Т из-за ограничения по осадке принимает большие значения, например по сравнению с однотипными морскими судами, а в результате – высокий уровень остойчивости.

Для целей анализа и предварительных оценок выражение (5.13) можно упростить. Примем вид функции f_r (a,d) согласно (5.8)

 

(5.14)

 

Значение коэффициента полноты конструктивной ватерлинии можно представить

 

a = 0,98 d ^½

(5.15)

 

Тогда с учетом этого (5.14) примет значение f_r (a, d) =0,084.

Подставляя полученную величину в (5.13) получим

 

(5.16)

 

или подставив k_g, a и d средние, например, для грузовых судов внутреннего плавания

 

(5.17)

 

Значение относительной метацентрической высоты для большинства судов внутреннего и смешанного плавания не превышает 0,25. Это позволяет величиной вследствие ее малости пренебречь. Тогда (5.16) примет вид

 

(5.18)

 

Используя полученное выражение можно оценить изменение b _т в результате изменения и элементов судна, входящих во второе слагаемое формулы (5.18), для чего продифференцируем ее

или

Для малых конечных приращений в том случае, когда не изменяется

 

D b т » 6D

(5.19)

 

Оценить влияние изменения b _т на остойчивость судна можно по обратной зависимости

 

(5.20)

 

Как видно из полученного выражения, увеличить остойчивость можно за счет b _т. Эти рассуждения справедливы для судна с принятым значением Н/Т, k_g и коэффициентами полноты. Но это не означает, что при решении вопроса обеспечения остойчивости влиянием этих элементов судна следует пренебрегать. В более общем виде зависимость (5.20) приобретает вид

 

(5.21)

 

Отсюда видно, что неблагоприятное влияние первого слагаемого может быть компенсировано за счет второго. В частности приращение коэффициента k_g может быть получено, например, за счет изменения числа ярусов надстройки или материала, из которого она изготавливается.