Остойчивость на больших углах наклонения

Общие положения. В процессе изложения теории начальной остой­чивости судна было отмечено, что определение восстанавливающего момента и плеча остойчивости метацентрическими формулами допус­тимо только при малых углах наклонения. При увеличении этих углов приходится прибегать к теории остойчивости на больших углах накло­нения. Основы данной теории излагаются в настоящем параграфе, где рассматривается лишь остойчивость на больших углах крена, посколь­ку большой дифферент у неповрежденного судна практически никогда не возникает.

Условимся, как и ранее, что в исходном равновесном положении судно сидит прямо и на ровный киль, его наклонение происходит в вертикальной поперечной плоскости, а деривационный момент, возникающий в процессе наклонения вследствие несимметрии судна относительно плоскости мидель-шпангоута уравновешивается некото­рым воображаемым внешним моментом. Другими словами, будем рассматривать плоскую задачу поперечного наклонения судна, счи­тая, что все характерные точки - ЦВ, ЦТ, метацентр, а также линии действия сил веса и плавучести представлены их проекциями на плоскость наклонения, совпадающую с координатной плоскостью yOz (рис. 2.21).

Рис. 2.21. Наклонение судна на боль­шой угол

Рассмотрим равнообъемное наклонение судна на угол Θ; не налагая на его значение каких-либо ограничений. При таком накло­нении ЦВ судна переместится в точку c_θ, а сила веса и сила плавучести γV, действуя пер­пендикулярно новой ватерлинии В_θЛ_θ, составят пару сил. Плечо этой пары = l, как и ранее, при рассмотрении ма­лых наклонений назовем плечом статической остойчивости, а момент М_в = Рl - восстанавливающим моментом судна.

При наклонении судна на большой угол теорема Эйлера недействи­тельна и ось наклонения уже не проходит через ЦТ площади начальной ватерлинии, отвечающей прямому положению судна. Кроме того, кривая СС_θ уже не может считаться дугою круга; аналитического вы­ражения она не имеет, и форма ее зависит от обводов судна. В общем случае поперечный метацентр m_θ выходит из ДП и его положение опре­деляется метацентрическим радиусом

r_θ =I_xθ /V, (2.69)

где I_xθ - центральный момент инерции площади наклонной ватерли­нии В_θЛ_θ относительно ее продольной оси.

Если из ЦВ опустить перпендикуляр CN на линию действия силы плавучести судна в его наклонном положении, то плечо остойчивости можно представить как разность:

. (2.70)

Отрезок l_ф называют плечом остойчивости формы, так как при данных водоизмещении судна и угле крена его значение зависит только от координат ЦВ, определяемых формой подводного объема. Отрезок l_в = α sinθ называют плечом остойчивости веса, так как при данном угле крена его величина зависит только от возвышения α ЦТ над ЦВ. Соответственно момент Мф=Рl_ф называют моментом остой­чивости формы, а момент М_В =Рl_В = Pa sin θ - моментом остойчивос­ти веса.

Иногда в качестве плеча остойчивости формы принимают пер­пендикуляр ER, опущенный на линию действия силы плавучести из полюса Е, расположенного неподвижно в ДП судна. Тогда плечо остой­чивости веса равно = (z_g-z_e)sin θ, а плечо статической остойчи­вости

. (2.71)

Рассмотренное выше разделение плеча остойчивости на две части имеет целью выделение той его части (плеча веса), которая зависит от данного состояния нагрузки судна и, следовательно, может быть определена только на судне после его погрузки. Оставшаяся же часть (плечо формы) может быть рассчитано заранее в функции водоизме­щения и угла крена, а результаты такого расчета могут быть выданы на судно в виде соответствующих графиков.

Диаграмма статической остойчивости. Кривую, выражающую за­висимость плеча статической остойчивости l или восстанавливающего момента М_В=Рl от угла крена θ называют диаграммой статической остойчивости или диаграммой Рида по имени английского корабель­ного инженера, впервые предложившего ее для оценки остойчивости судна на больших углах крена. По оси абсцисс диаграммы отклады­вают значения угла крена: положительные (на правый борт) вправо и отрицательные (на левый борт) влево от начала координат, а по оси ординат - значение плеча остойчивости или восстанавливающего момента (рис. 2.22). Поскольку диаграмму остойчивости строят для некоторого определенного водоизмещения судна, между плечом остойчивости и восстанавливающим моментом существует прямая пропорциональная зависимость и, следовательно, одна и та же кривая может служить одновременно диаграммой моментов и диаграммой плеч остойчивости - изменяется только масштаб ее ординат. В таких случаях говорят, что диаграмма остойчивости построена „в плечах" или „в моментах".

Рис. 2.22. Диаграмма статической ос­тойчивости

В силу симметрии судна относительно ДП обычно ограничиваются построением только одной половины диаграммы остойчивости для положительных значений угла крена - на правый борт.

Остойчивость на малых углах крена можно рассматривать, очевид­но, как частный случай остойчивости на больших углах крена. Следо­вательно, диаграмма статической остойчивости должна характеризо­вать некоторым образом также начальную поперечную остойчивость судна. Действительно, дифференцируя по углу крена θ приближенную (метацентрическую) формулу для плеча статической остойчивости l ≈ h sin θ, получаем

(2.72)

При θ = 0 эта производная принимает точное значение:

(2.73)

Таким образом, в начальном (прямом) положении судна производная плеча статической остойчивости по углу крена численно равна началь­ной поперечной метацентрической высоте.

Но, как известно из аналитической геометрии, производная функ­ции геометрически выражает угловой коэффициент касательной в дан­ной точке к графику функции, т. е. тангенс угла между этой касатель­ной и положительным направлением оси абсцисс. Следовательно, для изображения начальной метацентрической высоты на диаграмме плеч статической остойчивости можно воспользоваться следующим по­строением (рис. 2.23): по оси абсцисс откладывают от начала координат отрезок ОА, равный в масштабе углов крена 1 рад, затем в точке А вос­станавливают перпендикуляр к оси абсцисс, который пересекается в точке В с касательной к диаграмме, проведенной в начале координаn. Отрезок АВ этого перпендикуляра, измеренный в масштабе плеч остойчивости, будет равен начальной метацентрической высоте. В са­мом деле, из прямоугольного треугольника ОБА находим

(2.74)

Соответственно, если диаграмма остойчивости построена в моментах, то производная восстанавливающего момента по углу крена при θ = 0 будет численно равна коэффициенту поперечной остойчивости k=Ph.

Рисунок 2.23 наглядно показывает допустимые пределы использо­вания метацентрической формулы (2.10), графиком которой является касательная 0В. При малых θ прямая ОВ и кривая ОСЕ, выражающая действительный закон изменения плеча статической остойчивости по углу Θ, практически совпадают. Резкое расхождение между ними начи­нается обычно после входа в воду кромки палубы или выхода из воды скулы судна.

Рис. 2.23. Начальная остойчи­вость на диаграмме статической остойчивости

При положительной начальной остойчивости характерными точка­ми диаграммы являются точка О - положение устойчивого равновесия судна - и точки В и В', расположенные симметрично относительно на­чала координат и определяющие углы заката диаграммы Θ₃, при кото­рых судно находится в положениях неустойчивого равновесия (см. рис. 2.22). При углах крена, меньших угла заката, судно остойчиво, по­скольку восстанавливающий момент стремится вернуть его в положе­ние устойчивого равновесия О. Наибольшую по абсолютному значению ординату диаграммы, определяемую точками А или А', называют мак­симальным плечом диаграммы (или максимальным восстанавливаю­щим моментом), а отвечающий этой ординате угол крена - углом мак­симума диаграммы остойчивости. Наибольшая ордината диаграммы соответствует предельному статическому кренящему моменту, при­ложение которого еще не вызывает опрокидывания судна.

На рис. 2.24 приведены типичные диаграммы статической остойчи­вости для низкобортного судна с большой начальной остойчивостью и высокобортного судна с малой начальной остойчивостью.

Рис. 2.24. Типичные формы диаграммы статической остойчивости: α — низко­бортного судна; б — высокобортного судна

На рис. 2.25 изображена диаграмма статической остойчивости судна, имеющего отрицательную начальную остойчивость (в прямом положении). В этом случае положениям неустойчивого равновесия судна будут отвечать не только точки заката диаграммы В и В', но и на­чало координат О. Положениям устойчивого равновесия будут соот­ветствовать две точки - С и С'. Таким образом, судно с отрицательной начальной остойчивостью не может свободно плавать в прямом по­ложении; оно будет иметь крен θ₁на правый борт или равный ему крен θ’₁ на левый борт в зависимости от случайных внешних причин (ветра, волнения, перекладки руля и т. п.). Наличие отрицательной начальной остойчивости еще не может служить основанием для заклю­чения, что данное судно вообще неостойчиво и должно опрокинуться. Судно опрокидывается только в том случае, когда его диаграмма остойчивости примет вид, показанный на рис. 2.25 штриховой линией, и будет пересекать ось абсцисс только в одной точке - в начале коор­динат О.

Рис. 2.25. Диаграмма статической остойчивости