Построение диаграммы статической остойчивости и практическое ее использование

Задача о построении диаграммы статической остойчивости с ис­пользованием ЭВМ при максимальной автоматизации ввода исходных данных в принципе решена. Однако в настоящее время до осуществле­ния массового (серийного) изготовления бортовых ЭВМ с соответ­ствующими устройствами и снабжения ими судов морского флота для построения диаграмм статической остойчивости могут служить в ка­честве вспомогательных материалов интерполяционные кривые плеч остойчивости формы, пантокарены и универсальные диаграммы остой­чивости, содержащиеся в комплекте судовой документации.

Интерполяционные кривые плеч остойчивости формы и пантока­рены. При заданных обводах корпуса плечи формы l_ф можно рассмат­ривать как функцию двух переменных - объемного водоизмещения V и угла крена θ:

l_ф = f(V,θ). (2.75)

Если в уравнении (2.75) положить θ = θ_i = const, плечо формы ста­новится функцией одного переменного l_ф=f(V). Кривые l_ф=f(V) называют интерполяционными кривыми плеч остойчивости формы. Их строят в конструкторских бюро для ряда углов крена от 0 до 90° (с ин­тервалами 10°) для водоизмещении, лежащих в пределах, представ­ляющих практический интерес, т.е. от водоизмещения порожнего судна V_nop до водоизмещения судна с полным грузом V_гр (рис. 2.26).

С помощью интерполяционных кривых плеч остойчивости формы можно построить диаграмму статической остойчивости судна для любого состояния его нагрузки. Для этого на оси абсцисс интерполя­ционных кривых откладывают точку, соответствующую данному водоизмещению, восставляют в ней перпендикуляр и снимают с кри­вых значения l _ф для углов крена 10°, 20° и т. д. Дальнейшее вычисле­ние плеч статической остойчивости производят по формуле

l = l_ф – a sin θ = l_ф – (z_g-z_c)sin θ (2.76)

При этом аппликату ЦТ судна z_g находят из расчета нагрузки, отвечаю­щей данному водоизмещению, а аппликату ЦВ z_c - по соответствую­щей кривой, имеющейся в документе “Кривые элементов теоретичес­кого чертежа”. После определения всех плеч формы строят кривую l _фи синусоиду α sin θ, разности ординат которых являются плечами ста­тической остойчивости (рис. 2.27).

Если плечи остойчивости формы l _ф отсчитываются от полюса Ε (см. рис. 2.21), то соответствующие кривые l _ф = f (V) носят название пантокарен. При помощи пантокарен диаграммы статической остойчивости строят так же, как при помощи кривых плеч остойчивости формы.

Универсальная диаграмма статической остойчивости. Для быстро­го построения диаграммы статической остойчивости в судовых усло­виях наряду с интерполяционными кривыми плеч остойчивости формы и пантокаренами используют универсальную диаграмму остой­чивости, которую чертят в конструкторском бюро и включают в со­став вспомогательных материалов для самостоятельных расчетов, содержащихся в Информации об остойчивости.

Различными авторами были предложены различные формы универ­сальной диаграммы, включаемой в Типовую информацию об остойчи­вости и прочности грузового судна, при использовании которой исход­ными данными являются фактический дедвейт судна и начальная метацентрическая высота судна при данном состоянии его нагрузки.

 

Рис. 2.26. Пантокарены Рис. 2.27. Построение диаграм­мы статической остойчивости с помощью пантокарен

Теоретические основы универсальной диаграммы статической остойчивости заключаются в следующем: к выражению (2.76) для плеча статической остойчивости прибавляют и одновременно вычитают из него одну и ту же величину h_cpsin θ и, принимая во внимание, что a=r-h, представляют это выражение в следующей форме:

l = l_ф – (r - h)sin θ + h_cpsin θ - h_cpsin θ (2.77)

где h_cp - некоторое произвольное приблизительно среднее для дан­ного судна значение начальной метацентрической высоты. Если положить

= l_ф – r sin θ + h_cpsin θ (2.78)

l`_в = (h - h_cp) sin θ (2.79)

то выражение (2.77) принимает вид

l= l`<sub>ф</sub> + l`_в (2.80)

При некотором заданном угле крена θ первое слагаемое - услов­ное плечо формы l`<sub>ф</sub> - зависит только от формы подводного объема данного судна, а следовательно, от его водоизмещения или дедвейта, а второе слагаемое - условное плечо веса l`_в - только от его начальной метацентрической высоты.

При построении универсальной диаграммы вычерчивают два се­мейства кривых: условных плеч формы l`<sub>ф</sub> для ряда значений дедвейта судна и условных плеч веса l`_в для ряда значений начальной метацен­трической высоты от h = 0 до некоторого ее значения, которое для данного судна является наибольшим (рис. 2.28). Для того чтобы кри­вые l`_в представляли собой не синусоиды, а пучок прямых линий, выходящих из начала координат (что упрощает построение диаграм­мы), шкалу углов крена принимают синусоидальной, т. е. на оси абсцисс диаграммы наносят деления, расстояния которых от начала координат пропорциональны не углам крена, а синусам этих углов.

Диаграмма статической остойчивости для любого заданного зна­чения дедвейта и любой метацентрической высоты видна непосред­ственно на универсальной диаграмме. Например, на рис. 2.28 показа­на жирной линией диаграмма статической остойчивости для Δw = 4600 т и h = 0,7 м при h_ср = 1,0 м. При желании эту диаграмму можно легко перестроить в обычную форму, откладывая плечи остойчивости от горизонтальной оси и пользуясь обычной шкалой углов крена.

Рис. 2.28. Универсальная диаг­рамма статической остойчи­вости

 

Практическое использование диаграммы статической остойчивос­ти. Диаграмму статической остойчивости, построенную для данного состояния нагрузки судна, во-первых, используют для того, чтобы подтвердить выполнение требований Регистра СССР к остойчивости судна на больших углах крена, изложенных ниже. Такое подтвержде­ние может стать необходимым в тех случаях, когда нагрузка судна не соответствует типовой (предусмотренной Информацией об остой­чивости) и его остойчивость вызывает сомнения.

 

Рис. 2.29. Применение диаграм­мы статической остойчивости для определения угла крена судна при горизонтально-попе­речном переносе груза

 

Во-вторых, с помощью диаграммы статической остойчивости может быть определен крен судна тогда, когда метацентрическая формула, при­годная только для малых углов крена, оказывается неприменимой. Для нахождения угла крена на диаграмме статической остойчивости строят кривую кренящего момента М_кр =f(θ) или кренящего плеча l_кp = M_кp/P= f(θ). Точки пересечения этой кривой с диаграммой остойчи­вости определят положения устойчивого и неустойчивого равновесий судна. Например, кренящее плечо при горизонтально-поперечном переносе груза на расстояние у ₂ – у₁ выражается зависимостью

l_кр=Р(y₂-y₁)соsθ/Р. (2.81)

Углу статического крена θ₁ (положение устойчивого равновесия) будет соответствовать точка А пересечения косинусоиды (2.81) с диаг­раммой остойчивости (рис. 2.29). Точка В определит угол θ₂, отвечаю­щий положению неустойчивого равновесия.

Динамическая остойчивость

Общие положения. Динамической остойчивостью называют способ­ность судна выдерживать, не опрокидываясь, динамическое воздей­ствие кренящего момента.

Задача о крене судна при воздействии на него кренящего момента была рассмотрена выше в статической постановке, т. е. анализирова­лось положение судна, при котором наблюдается статическое равнове­сие между кренящим и восстанавливающим моментами. Предполага­лось, что кренящий момент прикладывается к судну постепенно, вызывая пренебрежимо малые ускорения, либо что с момента его приложения истекло достаточно много времени.

Значительный практический интерес представляет рассмотрение той же задачи в динамической постановке, когда нарастание креняще­го момента до его наибольшего значения происходит в течение очень короткого времени, не соизмеримого со временем накренения судна, или практически мгновенно. Так действует, например, на судно внезапно налетевший порыв ветра (шквал). В каждый момент времени при этом не будет наблюдаться равенства между кренящим и восста­навливающим моментами, и судно получит так называемый динами­ческий крен, кратковременный, но значительно больший крена, возникающего при статическом действии такого же кренящего мо­мента.

Рассмотрим процесс наклонения судна под действием внезапно приложенной внешней кренящей пары сил, продолжающей действо­вать неограниченно долго после приложения. В целях упрощения задачи будем считать, что момент этой пары М_кр не зависит от угла крена (в частности, для ветрового момента это приблизительно соот­ветствует действительности). В этом случае график кренящего момен­та изобразится на диаграмме остойчивости прямой линией АС, парал­лельной оси θ (рис. 2.30). На участке наклонения судна АВ кренящий момент больше восстанавливающего, и судно будет крениться с на­растающей угловой скоростью и убывающим угловым ускорением, которое обратится в нуль в точке В, т. е. при достижении статического угла крена θ_ст. Однако угловая скорость накренения в этом положе­нии судна достигнет максимума, поэтому оно не остановится, а будет продолжать крениться по инерции с убывающей угловой скоростью, которая наконец обратится в нуль в некоторой точке Е при дости­жении динамического угла крена θ_дин. Эта точка не является поло­жением равновесия, так как восста­нав­лива­ющий момент в ней больше кренящего; поэтому судно задержится в ней лишь на одно мгновение, а затем его крен будет убывать и рассмотренный процесс повторится в обратном направлении, т. е. судно начнет совершать коле­бательные движения, постепенно затухающие под влиянием сопротивления среды. Размахи колебаний судна будут при этом постепенно уменьшаться и, наконец, оно придет в положение статического равновесия с углом крена θ_ст.

Рис. 2.30. Действие внезапно при­ложенного кренящего момента

В процессе колебаний судна происходит непрерывный переход кинетической энергии его накренения в потенциальную, и наоборот. Следовательно, наибольший угол динамического крена может быть определен из условия равенства работ кренящего и восстанавливающего моментов при накренении от θ = 0 до θ = θ_дин (сопротивлением среды, а следовательно, и его работой при этом пренебрегают).

Известно, что работа пары сил выражается произведением ее момента на угол поворота, а при переменном моменте - площадью под его графиком, построенным в функции угла поворота. В данном случае математическим выражением указанного равенства работ будет служить уравнение

. (2.82)

Подынтегральная функция в правой части уравнения (2.82) не может быть выражена аналитически, поэтому это уравнение может быть решено относительно θ_дин только графическим способом - таким подбором положения ординаты DF, при котором площади, выраженные правой и левой частями уравнения, будут равны, т. е.

площадь OAEF = площадь OBDF. (2.83)

Обе площади включают общую для них площадь OBEF, следовательно, условие для подбора ординаты DF можно записать в виде равенства площадей, заштрихованных на рис 2.30:

площадь OAB = площадь BDE. (2.84)

Предельный динамический кренящий момент, действие которого судно способно выдержать не опрокидываясь (называемый обычно опрокидывающим моментом), определится равенством заштрихован­ных площадей ОАВ и BCD (рис. 2.31). Этому моменту соответствует предельный динамический угол крена θ_{дин.пред}.

Рис. 2.31. Определение опрокиды­вающего момента

Из сказанного следует, что мерой динамической остойчивости суд­на служит работа Т восстанавливающего момента при наклонении суд­на от Начального равновесного положения до некоторого заданного угла крена. Эта работа равна

. (2.85)

В практике получила также распространение относительная мера динамической остойчивости - отношение работы восстанавливающего момента к силе веса судна, называемое плечом динамической остой­чивости

. (2.86)

В теории судна доказывается, что плечо динамической остойчивости имеет размерность длины и определенный геометрический смысл: оно равно приращению возвышения ЦТ над ЦВ судна при его равнообъемном наклонении из прямого положения до заданного угла крена θ (рис. 2.32). Действительно, работа восстанавливающего момента равна работе сил веса и плавучести при наклонении судна, которая, в свою очередь, равна произведению одной из этих сил на приращение рас­стояния между ними.

Рис. 2.32. К объяснению геометри­ческого смысла плеча динамичес­кой остойчивости

Диаграмма динамической остойчивости. Кривую, выражающую зависимость работы восстанавливающего момента (или плеча динами­ческой остойчивости) от угла крена, называют диаграммой динамичес­кой остойчивости.

Рис. 2.33. Диаграммы статической и динамической остойчивости

Формулы (2.85) и (2.86) показывают, что диаграмма динамической остойчивости является интегральной кривой по отношению к диаграм­ме статической остойчивости (рис. 2.33) и поэтому обладает следующи­ми свойствами, общими для всех интегральных кривых:

- точки пересечения подынтегральной кривой (диаграммы стати­ческой остойчивости) с осью абсцисс отвечают точкам О и D экстрему­ма интегральной кривой (диаграммы динамической остойчивости);

- точка А максимума диаграммы статической остойчивости соот­ветствует точке перегиба С диаграммы динамической остойчивости;

- любая ордината диаграммы динамической остойчивости, отве­чающая некоторому углу крена θ, представляет в масштабе соответ­ствующую этому углу крена площадь диаграммы статической остой­чивости (заштрихована на рисунке).

Рабочая форма вычисления ординат диаграммы динамической остойчивости приведена в табл. 2.1.

Таблица 2.1. Вычисление ординат диаграммы динамической остойчивости

δ θ/2 = 10°/2 = 0,1745/2 = 0,0873 рад

Диаграмму динамической остойчивости целесообразно использо­вать в судовых условиях для решения двух рассмотренных выше задач: определения динамического угла крена при заданном динами­ческом кренящем моменте и определения опрокидывающего момен­та. Приведенное выше решение этих задач при помощи диаграммы статической остойчивости, хотя и наглядно, но методически не вполне удобно, так как требует довольно трудоемкого подбора ординат, обеспечивающих равенство известных площадей. При использовании диаграммы динамической остойчивости это неудобство устраняется.

Рассмотрим диаграмму динамической остойчивости, построенную в плечах l_дин, (рис.2.34), и соответственно графическое решение уравнения, аналогичного уравнению (2.82),

, (2.87)

где l _кр = М_кр /Р - плечо кренящего момента.

Динамический кренящий момент принимается постоянным по углам крена. Следовательно, его работа находится в линейной зависи­мости от угла θ, а график произведения l_κρθ =f(θ) изобразится на диаграмме динами­ческой остой­чивости прямой наклонной ли­нией. В наиболее простом случае, когда рассматривается воздей­ствие динамического кренящего момента на судно, находящееся в прямом равновесном положе­нии, эта прямая будет проходить через начало координат. Для ее построения достаточно провести вертикаль через точку, отвечаю­щую крену в 1 рад (57,3°), и отло­жить на этой вертикали заданное кренящее плечо l_κρ. Прямая, соединяющая найденную таким образом точку Ε с началом координат 0, представит искомый график произведения l_κρθ, т.е. график работы кренящего момента, отнесенной к силе веса судна Р. Эта прямая пересечет диаграмму динамической остойчивости в двух точках: А и В. Абсцисса первой из этих точек определяет угол динамического крена θ_дин, при котором имеет место равенство работ кренящего и восстанавливающего моментов. Вторая точка пересечения практического значения не имеет.

 

Рис. 2.34. Определение угла динамического крена и плеча опрокидывающего момента при помощи диаграммы динамической остойчивости

Если построенный таким образом график произведения l_κρθ вообще не пересекает диаграмму динамической остойчивости, то это означает, что судно опрокидывается. Для того чтобы найти предель­ный кренящий момент М_опр, который судно еще может выдержать не опрокидываясь, следует провести из начала координат касатель­ную к диаграмме динамической остойчивости до пересечения ее в точке D с вертикалью, соответствующей крену в 1 рад. Отрезок этой вертикали от оси θ до пересечения ее с касательной определит плечо опрокидывающего момента l _опр, а сам момент определится умножением плеча l_опр на силу веса судна Р. Точка касания С опреде­лит предельный угол динамического крена θ_{дин.пред}.

Рассмотренное выше решение задачи определения опрокидыва­ющего момента несколько идеализирует физическую картину явления применительно к воздействию на судно кренящего момента от нале­тевшего шквала ветра. В реальных условиях судно, как правило, воспринимает действие ветра, находясь в открытом море и испытывая бортовую качку. Поэтому Правила Регистра СССР (часть IV „Остой­чивость") предписывают использовать следующую методику опреде­ления опрокидывающего момента с учетом качки.

На диаграмме динамической остойчивости находят вспомогатель­ную точку А (рис. 2.35). Для этого вправо от начала координат откла­дывают максимальную амплитуду бортовой качки (определяемую по приводимой в Правилах методике) и на кривой динамической остой­чивости фиксируют соответствующую точку А', через которую прово­дят прямую, параллельную оси абсцисс. На этой прямой влево от вспомогательной точки А откладывают отрезок АА', равный двойной амплитуде качки (АА'=2θ_r). Найденная таким образом точка А, расположенная симметрично точке А', определяет начало динамичес­кого процесса накренения судна под действием динамического кренящего момента. Далее из точки А проводят ка­сательную АС к диаграмме динамичес­кой остойчивости и от точки А на пря­мой, параллельной оси абсцисс, откла­дывают отрезок АВ, равный 1 рад. В точке В восставляют перпендикуляр BE до пересечения с касательной АС. Отрезок BE равен плечу опрокидывающего момента l_опр = М_опр/Р, еслидиаграмма динамической остойчивости построена в масштабе плеч, как на рис. 2.35, или равен опрокидывающему моменту М_опр, если диаграм­ма построена в масштабе работ.

Рис. 2.35. Определение опроки­дывающего момента с учетом качки