Основная теорема гидростатики

Гидростатическое давление в данной точке не зависит от на­прав­ления, т.е. остается одинаковым по всем направлениям.

Докажем, что р_х = р_у = р _z = р _n, где р_х, р _y, р _z, р _n –представляют собой гидростатическое давление соответственно в направлении ко­ор­динатных осей ox, oy, oz и в некотором произвольном на­прав­ле­нии N- N (рис. 2.2).

 

Рис. 2.2

Выделим внутри массы жидкости, находящейся в равновесии, малый объем в форме тетраэдра с ребрами dx, dy, dz, со­ответ­ст­-венно параллельными координатным осям, и с массой

dm = ,

где r –

плотность жидкости.

Представим, что жидкость внутри тетраэдра – в виде твердого тела. Это не изменяет условий равновесия.

Воспользуемся известными уравнениями статики твердого тела, а именно уравнениями проекций сил и уравнениями моментов:

                               (2.3)

Учитывая, что при стягивании тетраэдра в точку, уравнения мо­мен­тов такой системы удовлетворяются тождественно, а действую­щие на не­го силы сводятся к системе сил, проходящих через одну и ту же точку.

Таким образом, остается только три проекции сил:

                                         (2.4)

К действующим силам относятся поверхностные и массовые (объемные) силы.

К поверхностным силам относятся силы давления жидкости, окружающей элементарный тетраэдр.

Таких сил будет четыре (по числу граней).

На грань АВС действует сила

,                                   (2.5)

где рх –

среднее гидростатическое давление для треугольника АВС с площадью .

Сила dP_x параллельна оси ox, направлена в противоположную сто­рону оси и, следовательно, войдет в уравнение со знаком «плюс».

Силы dP_y и dP_z,действующие на грани ABD и ACD, соот­вет­ст­вен­­но параллельны осям oy и oz и их проекции на ось ox равны ну­лю.

Четвертая сила dP_n – сила давления на грань ВС D равна:

,                                        (2.6)

где р n –	среднее гидростатическое давление для грани BCD;
d w –	площадь этой грани.

Проекция этой силы на ось ox:

.                         (2.7)

Эта сила направлена в отрицательную сторону оси ox.

Произведение d wcos(N, ox) представляет собой проекцию пло­ща­ди треугольника BCD на плоскость у oz и равно:

.                                   (2.8)

Тогда проекция силы dP_n на ось ox численно равна:

.                               (2.9)

Аналогично можно записать проекции силы dP_n на оси oy и oz:

                           (2.10)

Массовые силы, действующие на тетраэдр, приводятся к рав­нодействующей dR, образующей с координатными осями углы a, b, g и равной:

,                                      (2.11)

где dm –

масса тетраэдра, равная:

,

где  r –	плотность жидкости;
dxdydz –	объем тетраэдра;
j –	ускорение объемной силы (в частном случае ускорение свободного падения).

Обозначим проекции ускорения j по координатным осям x, y, z, т.е. примем, что

Тогда проекции объемной силы dR равны:

                  (2.12)

Запишем сумму проекций всех сил на ось ox с учетом уравнений (2.12):

.       (2.13)

Или после сокращения на dydz:

.

Пренебрегая dxX как бесконечно малым относительно p_x и p_n, получаем p_x – p_n = 0или p_x = p_n.

Аналогично p_y = p_n и p_z = p_n.

Следовательно,

p_x = p_y = p_z = p_n.                                   (2.14)

Что и надо было доказать.

Таким образом, гидростатическое давление в точке по любому на­правлению оказывается одинаковым, т.е. не зависит от направ­ле­ния действия.

 

2.4. Условие равновесия жидкости

Жидкость может сохранять свое равновесное состояние в том случае, если внешние силы, действующие в точках граничной по­верхности, направлены только по внутренним нормалям к этой по­верхности.

Очевидно, что действие силы давления по внешней нормали при­водит к нарушению равновесия, т.к. жидкость не оказывает сопро­тивления растягивающим силам.

Касательные силы возникают при движении жидкости, поэтому при равновесии жидкости, находящейся в покое, они равны нулю.

Следствие. Так как гидростатическое давление одинаково по всем направлениям в данной точке, а в различных точках данного объема жидкости в общем случае различно, то

                                      (2.15)

В общем случае, когда изменяется атмосферное давление во вре­мени:

.                                (2.16)

 

2.5. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости (Уравнение Эйлера)

Выделим в жидкости элементарный параллелепипед ABCDA ^¢ B ^¢ C ^¢ D ^¢ (рис. 2.3).

Полагая его твердым телом, составим три уравнения проекций действующих сил:

 =0;  =0;  =0.

 

Рис. 2.3

Уравнение моментов исключается. Составим уравнение проекции сил на ось ox, т.е. уравнение  = 0.

Равновесие параллелепипеда обеспечивается шестью проекциями (по числу граней).

В уравнение  = 0войдут только две силы: dP и dP ^¢.

Сила давления на грань ABCD

где р –

среднее гидростатическое давление на грань ABCD.

Сила давления на грань A ^¢ B ^¢ C ^¢ D ^¢

,

где р ^¢ –

среднее гидростатическое давление на грань A ^¢ B ^¢ C ^¢ D ^¢ (р ^¢¹ р).

Определим р ^¢. Так как p = f(x, y, z), то при переходе от одной грани к другой давление должно изменяться в зависимости от одной координаты, так как в сходственных точках (A и A ^¢, B и B ^¢ и т.д.) давление зависит только от изменения одного аргумента x. Аргу­мен­ты y и z для сходственных точек (А и А ^¢) остаются неизменными. Следовательно

.

Тогда

.

Сила dP ^¢войдет в уравнение проекции со знаком «минус».

Проекции объемных сил.

Проекция объемной силы dR равна произведению массы на соответствующую проекцию ускорения объемной силы, т.е.

,

где    r –	плотность жидкости;
dx, dy, dz –	объем выделенного элемента;
X –	проекция ускорения силы dR на ось Ох.

Сумма проекций поверхностных и объемных сил на ось Ох равна:

.  (2.17)

После некоторого преобразования и деления на dxdydz (объем параллелепипеда dW) получим уравнение проекций сил на ось Ох, отнесенных к единице объема:

.                                  (2.18)

Аналогично получим два других уравнения:  =0;  =0.

Таким образом, при равновесии жидкости имеем три диф­фе­рен­-циальных уравнения:

                                   (2.19)

Система уравнений (2.19) равновесия жидкости относится как к несжимаемой, так и к сжимаемой жидкости.

Эта система уравнений впервые была получена Эйлером в 1755 г.