Истечение при переменном напоре

Задача об истечении жидкости при переменном напоре сводится к определению времени опорожнения или наполнения всего или некоторой части сосуда, в зависимости от начального наполнения, формы и размеров сосуда и отверстия.

Подобные задачи встречаются при расчётах наполнения и опо­рож­нения резервуаров, цистерн, водохранилищ, бассейнов, шлю­зо­вых камер и др.

При переменном напоре имеет место неустановившееся движение жидкости, что делает неприемлемым обычное уравнение Бернулли. Поэтому полное время истечения разделяют на бесконечно ма­лые промежутки, в течение которых напор считается постоянным, а ис­те­чение жидкости – установившимся. Это позволяет использовать для решения полученные выше за­ви­симости и приводит к доста­точ­но точным результатам.

Рассмотрим простейший пример истечения жидкости в атмо­сфе­ру через донное отверстие площадью w из открытого вертикального цилиндрического сосуда, одинакового по всей высоте поперечного сечения F (рис. 4.4).

 

 

 

Рис. 4.4

Пусть за время dt через отверстие вытекло dQ жидкости, равное

,

где Н –	напор на уровне элементарного элемента dH, который мож­но считать постоянным;
m –	коэффициент расхода (изменяющейся в зависимости от напора, формы и размеров отверстия).

В действительности, за это время уровень жидкости в сосуде опустится на dH и объём жидкости в нём изменится на .

 

Вследствие неразрывности движения жидкости

или

.

Отсюда

                          .                                         (4.19)

Полное время опорожнения сосуда определим в результате ин­те­грирования уравнения (4.19):

,

где Н н –

начальный напор жидкости в сосуде.

 

Меняя пределы интегрирования в правой части уравнения, при­нимая  и вынося постоянные за знак интеграла, получим

             .                            (4.20)

Умножив и разделив правую часть уравнения (4.20) на , получим

            .                           (4.21)

Из выражения (4.21) следует, что при сохранении постоянного напора в сосуде тот же объём жидкости пройдёт через отверстие за время t,^ вдвое меньшее, чем t, т.е. t = 2 t ^.

Формула (4.20) применима и для случая истечения жидкости из отверстия в боковой стенке сосуда. В этом случае напор Н _н от­счи­тывается от центра тяжести площади отверстия.

При частичном опорожнении сосуда применяется следующая зависимость:

                      .                                     (4.22)

 

Примеры

Пример 1. Вода вытекает из малого незатопленного отверстия в вертикальной стенке при постоянном напоре Н. Высота рас­по­ло­жения отверстия над полом  z = 1,0 м и достигает пола на рас­стоя­нии = 1,2 м. Диаметр отверстия d = 50 мм, j = 0,97. Определить расход Q.

Решение: По формуле (4.10) определяем Н:

.

Принимая коэффициент расхода m = 0,62, находим расход:

 м³/с.

2×10⁵ Па, а во II резервуаре р ₂ = 1,7×10⁵ Па, m = 0,62. Скоростью подхода пренебречь. Пример 2. Определить расход жидкости, перетекающей из ре­зер­вуара I в резервуар II (см. рис. 4.3), если диаметр отверстия в вер­тикальной стенке d = 0,2 мм, высота Н ₁ = 7м, Н ₂ = 6 м, давление в I резервуаре р ₁ =

Решение: Определяем площадь отверстия:

 

 м².

Находим расход жидкости:

Пример 3. Определить расход воды и скорость ее истечения через круглое незатопленное отверстие диаметром d = 0,2 м, если
Н = 4 м, m = 0,62, j = 0,97. Скоростным напором пренебречь.

Решение: Определяем скорость истечения:

 м/с.

Площадь отверстия

 м².

Определяем расход воды через отверстие:

 м³/с.

Контрольные вопросы

1. Что понимается под тонкой стенкой, малым отверстием, боль­шим отверстием?

2. Какие виды сжатия струи при истечении из отверстия в тонкой стенке вы знаете?

3. Какими коэффициентами характеризуется истечение жидкости из отверстий и какова между ними аналитическая связь?

4. Чем отличается формула расхода жидкости для незатоп­лен­ного и затопленного отверстий?

5. Какие технические задачи решаются на основе гидрав­ли­чес­ко­го расчёта истечения жидкости?

6. По какой зависимости определяется коэффициент скорости опыт­ным путём?

7. Какие поправочные коэффициенты применяются при расчёте j и m при несовершенном сжатии?

8. Какая задача решается при опорожнении ёмкостей и от каких факторов зависит её решение?