Истечение жидкости из отверстия в тонкой стенке

Рассмотрим истечение жидкости из круглого отверстия диамет­ром d ₀ в вертикальной тонкой стенке сосуда (рис. 4.1).

 

 

Рис. 4.1

Стенка считается тонкой, если её толщина d < 0,2 d ₀ и не влияет на условия истечения. Основной задачей истечения является опре­де­ление скорости истечения и расхода жидкости при следующих ус­ловиях:

1. Процесс истечения установившийся, т.е. p ₁ = const.

2. Сжатие струи – полное и совершенное.

3. В сжатом сечении давление подчиняется гидростатическому за­кону распределения.

4. Скорости в верхних и нижних точках отверстия не отли­ча­ются между собой и коэффициент Кориолиса a = 1.

Для определения скорости истечения напишем уравнение Бер­нул­ли для сечений 1–1 и 2–2, учитывая, что плоскость сравнения про­ходит через центр тяжести отверстия, т.е. z ₁ = z ₂ = 0:

.                               (4.2)

Анализ уравнения (4.2) показывает, что р ₀ в сжатом сечении мож­но принять равным атмосферному.

Потери напора между сечениями 1–1 и 2–2 определяются по фор­му­ле Вейсбаха

,                                      (4.3)

где xвх –

коэффициент сопротивления отверстия.

С учётом формулы (4.3) преобразуем уравнение (4.2) к виду:

.                       (4.4)

Решая уравнение (4.4) относительно v, находим

.                            (4.5)

Преобразуем отношение , используя уравнение расхода для сечений 1–1 и с–с (см. рис. 4.1) в виде  или . Умножив и разделив правую часть последнего равенства на , получим

.

Обозначив  и , преобразуем формулу (4.5) к виду

.                       (4.6)

Введём обозначение

,                             (4.7)

где j –	коэффициент скорости истечения, учитывающий потери скорости на местном сопротивлении (на острой кромке входного отверстия);
e =	– коэффициент сжатия струи для круглых отверстий, равный 0,64;
n =	– коэффициент, учитывающий влияние скорости по­тока перед входным отверстием на коэффициент скорости (при истечении из малых отверстий n ® 0).

С учётом обозначения (4.7), формула (4.6) принимает вид (индекс «с» опускается)

                                     (4.8)

При истечении холодной воды через малое отверстие обычно имеем:

j» 0,97 – 0,98; x_вх» 0,06.

По коэффициенту скорости легко определить коэффициент со­про­тивления x_вх:

.

Эти коэффициенты зависят от напора Н (и, следовательно, от ско­рости истечения), вязкости жидкости, формы и размеров от­вер­стия, а поэтому и от числа Рейнольдса. Обычно принимают j = f (Re).

Траектория полёта струи при истечении жидкости при не­боль­ших скоростях и небольших высотах падения, когда можно пре­неб­речь сопротивлением окружающего струю воздуха и принять форму струи параболической, показана на рис. 4.2.

 

 

Рис. 4.2

Без большой погрешности можно считать, что частица жидкости за сжатым сечением n - n движется по инерции: по оси x – равно­мер­но, по оси z – равноускоренно, поэтому закон движения частицы жид­кости можно записать в следующем виде:

                                     (4.9)

Отсюда .

Подставляя выражение t в формулу (4.9), получим

.

Отсюда

.                 (4.10)

Решая выражение (4.10) относительно коэффициента скорости, находим

.                                   (4.11)

Чтобы определить j, надо измерить дальность полёта струи , высоту падения D z и напор Н.

Расход жидкости равен произведению скорости в сжатом се­че­нии на площадь живого сечения:

.

Подставляя вместо w_с и v их значения, имеем:

.

Введём обозначение

,              (4.12)

где m–

коэффициент расхода.

С учётом обозначений в формуле (4.12) получим

.                       (4.13)

Так как для малых отверстий коэффициент сжатия e = 0,64, а ко­эффициент скорости j = 0,97, то, в соответствии с формулой (4.12),

m = je = 0,64×0,97 = 0,62.

Учитывая зависимость e от , можно найти также зави­си­мость m = f (n, x_вх).

При истечении из малых отверстий n ® 0 из формулы (4.12), находим

.                                  (4.14)

В случае истечения из сосудов со свободной поверхностью фор­мулы (4.8) и (4.13) записываются в виде:

                                    (4.15)

,                               (4.16)

где –

высота уровня жидкости в сосуде над цент­ральным отверстием (при диаметре отверстия d << H (см. рис. 4.2).

Опытами установлено, что коэффициент m существенным обра­зом изменяется в зависимости от формы, размеров отверстия и от напора. Причём, с увеличением размеров отверстия коэффициент расхода уменьшается, а с увеличением напора уменьшается влияние размеров отверстия на коэффициент m.

При неполном сжатии коэффициент расхода определяется по формулам:

 – для круглых отверстий;

 – для прямоугольных отверстий;

здесь m0 –	коэффициент расхода для аналогичного отверстия при полном сжатии;
n –	часть периметра отверстия, где отсутствует сжатие;
р –	полный периметр отверстия.

Если сжатие несовершенное или неполное, то коэффициенты m и jопределяются с поправками по формуле Н. Е. Жуковского:

,

где q –

угол, определяемый из выражения:

;

здесь Н –	глубина погружения нижней кромки отверстия;
a –	высота отверстия.

При совершенном сжатии , что хорошо согласу­ется с опытными данными.

При истечении жидкости из затопленного отверстия, как пока­зали многочисленные исследования, коэффициенты m, j, e будут ма­ло отличаться от коэффициентов при истечении жидкости в атмо­сферу, но в качестве напора будет действовать разность напоров
Н ₁– Н ₂ (рис. 4.3) при р ₁ = р ₂.

 

 

Рис. 4.3

Расчётные формулы имеют вид:

(4.17)

Если давление на свободной поверхности резервуаров не равно ат­мосферному (рис. 4.3), т.е. р ₁ > p ₂ > p _атм, то расчётными фор­му­ла­ми будут следующие:

  (4.18)