Методы исследования движения жидкости

Существует два метода изучения движения жидкости: метод Ла­гранжа и метод Эйлера.

Метод Лагранжа изучает изменение положения в пространстве отдельных частиц жидкости, т.е. траектории их движения.

Метод Эйлера изучает поле скоростей, т.е. картину движения частиц жидкости в отдельных точках пространства в данный момент времени.

Метод Лагранжа в гидродинамике используется редко, ввиду его сложности. Обычно изучение движения основано на методе Эйлера, суть которого заключается в следующем.

Метод основан на понятии местной скорости или скорости в точке в данный момент времени.

В общем случае местные скорости различны в один и тот же момент времени (рис. 3.8) в разных точках. Они могут изменяться во времени в каждой точке.

 

Рис. 3.8

Проекции скорости на оси координат можно записать в виде функций:

                                    (3.5)

Функция (3.5) характеризует поле скоростей движущейся жид­кости.

Используя метод Эйлера, можно выразить ускорение а жидкой частицы в соответствии с физическим смыслом:

.

Если учесть, что для движущейся частицы ее координаты яв­ляются функциями времени:

,

то проекции скорости будут сложными функциями времени:

Используя правило дифференцирования сложных функций, для проекций полного ускорения получим:

             (3.6)

Учитывая, что для движущейся жидкости

,

преобразуем функции (3.6) к виду:

                    (3.7)

где ; ;  –	индивидуальные или субстанциональные производные;
; ;   –	локальные производные, выражающие из­­менение во времени вектора u в фик­си­рованной точке пространства;
–	конвективная производная вектора u. Эта величина выражает изменение ско­рос­ти в пространстве в данный момент вре­мени. При установившемся движении локальные ускорения равны нулю.

Уравнение Эйлера

По основному закону механики равнодействующая всех внешних сил, действующих на данное тело, равна массе тела, умноженной на ускорение, с которым движется это тело:

.                                       (3.8)

Выделим в потоке жидкости элементарный объем в форме па­рал­ле­лепипеда (рис. 3.9) и запишем основное уравнение (3.8) в про­екциях по осям:

                           (3.9)

 

 

Рис. 3.9

Для первого уравнения (3.9) найдем массу

.

Ускорение вдоль оси Ох равно первой производной скорости по времени t, т.е. :

.

Учитывая, что ,

где ,

получим

.        (3.9а)

На выделенную элементарную массу действуют поверхностные силы давления и объемные силы (или массовые), т.е. в силу dR_x включаются эти силы.

Рассмотрим проекцию силы давления на боковую грань АВСD и А ¢ В ¢ С ¢ D ¢:

,

где р и р ¢ –

среднее гидростатическое давление для указанных граней:

.

Тогда . Сила dP ₂войдет в основ­ное уравнение со знаком «минус», т.е. в сумму проекций сил дав­ления на боковые грани:

. (3.10)

Проекция объемной силы dFx определяется выражением:

,                       (3.11)

где      Х –	проекция ускорения объемной силы;
r –	плотность жидкости;
dxdydz = dV –	объем параллелепипеда.

Проекция равнодействующей с учетом выражений (3.10) и (3.11) имеет вид:

.  (3.12)

Подставляя выражение (3.9а) в уравнение (3.12), получим:

.

После сокращения на , т.е. отнеся уравнение к единице массы, получим:

.         (3.13)

Аналогично составив выражения для сил dRy и dRz и для dma_y и dma_z, получим три уравнения Эйлера:

                                (3.14)

Система (3.14) описывает движение как капельной, так и га­зообразной жидкости. В системе 3-х уравнений пять неизвестных u_х, u_у, u_z, p и r, поэтому необходимо иметь еще два уравнения. Такими уравнениями являются уравнения неразрывности и ха­рактеристическое уравнение.

При  (для капельной жидкости) достаточно уравнения неразрывности:

.

 

Контрольные вопросы

1. Что изучает кинематика и динамика жидкости?

2. Что представляет собой линия потока и траектория движения? В чем различие?

3. Что называется трубкой тока, элементарной струйкой и ка­ковы их свойства?

4. Что называется потоком жидкости?

5. Что называется живым сечением, смоченным периметром и гидравлическим радиусом?

6. Что называется средней скоростью потока и расходом?

7. Напишите уравнение неразрывности (сплошности) потока.

8. Приведите примеры равномерного и неравномерного, напор­но­го и безнапорного движения.

9. Что изучает метод Лагранжа?

10. Что изучает метод Эйлера?

3.9. Интегрирование уравнения Эйлера
для установившегося движения жидкости

При установившемся движении частные производные по времени равны нулю, т.е.

.

В этом случае движение жидкости может быть вихревым.

Запишем уравнение Эйлера в следующем виде:

                 (3.15)

Умножим первое уравнение на dx, второе на dy и третье на dz; здесь dx, dy и dz являются проекциями элементарного пере­ме­ще­ния.

Тогда, для первого уравнения будем иметь:

.    (3.16)

Учитывая, что ;  и , преобразуем правую часть уравнения (3.16) к виду:

где выражение в скобках представляет полный дифференциал проекции скорости на ось ox т.е.

.                   (3.17)

С учетом уравнения (3.17) первое уравнение запишем в виде

.                   (3.17а)

Оставшиеся два уравнения записываются по аналогии:

                         (3.17б)

                           (3.17в)

Сложив почленно уравнения (3.17а, б, в), после некоторых пре­об­разований получим:

Здесь u ²представляет полную скорость в данной точке.

Левую часть уравнения можно представить в виде силовой функции U(x, y, z) и полного дифференциала dp, т.е.

и

;

тогда имеем

или

.                        (3.18)

После интегрирования уравнения (3.18) получаем:

.                        (3.19)

Выражение (3.19) называют интегралом Бернулли-Эйлера.

Если движение жидкости протекает под действием только сил тяжести и жидкость несжимаемая, т.е. , то

и .                          (3.20)

С учетом выражений (3.20) интеграл Бернулли (3.19) принимает вид:

или после деления членов уравнения на g получим известное урав­не­ние Бернулли в его обычной форме:

.                        (3.21)

Для установившегося вихревого движения значение Н постоянно только вдоль одной линии тока или траектории (для элементарной струйки). Это следует из условий интегрирования для потен­ци­аль­ных течений.

Уравнение Бернулли имеет большое практическое и теоре­ти­ческое зна­чение. Согласно уравнению Бернулли сумма трех высот ос­тается неизменной вдоль данной элементарной струйки (рис 3.10). Высота z на­зывается геометрической высотой, или высотой положе­ния центра тяжести се­чения струйки;  – высота, определяемая величиной гид­ро­ди­намического давления, или пьезометрическая высота;  – ско­ростная высота, или скоростной напор.

 

 

Рис. 3.10

Энергетический смысл уравнения Бернулли представляет собой полную энергию, отнесенную к единице веса жидкости.

Сопоставляя основное уравнение гидростатики  с уравнением Бернулли, видим, что слагаемое  можно рассматривать как кинетическую энергию, отнесенную к единице веса жидкости:

.

Так как , то полный запас энергии элементарной струйки, отнесенной к весу жидкости, будет равен сумме:

 

В связи с этим уравнение Бернулли часто называют уравнением энергии.