Основное дифференциальное уравнение гидростатики

Умножая первое уравнение (2.19) на dx и последующие на dy и dz, после суммирования получаем:

,   (2.20)

где dx, dy, dz –

дифференциалы координат, а не ускорений X, Y, Z.

Так как гидростатическое давление р является функцией только координат, т.е. независимых переменных x, y, z, то первый трех­член уравнения (2.20) как сумма всех трех частных диф­ферен­ци­алов представляет собой полный дифференциал.

Следовательно,

.                         (2.21)

Это уравнение является основным дифференциальным уравне­ни­ем равновесия жидкости.

Так как dp есть полный дифференциал, то для однородной жид­кости (при r = const) и трехчлен (Xdx + Ydy + Zdz) – тоже пол­ный дифференциал некоторой функции U (x, y, z).

Следовательно,

.                    (2.22)

Частные производные функции U (x, y, z) взятые по x, y, z рав­ны проекциям ускорений массовых сил на соответствующие оси:

                                  (2.23)

Рассматривая X, Y, Z не как проекции ускорения, а как проек­ции объемной силы, отнесенной к единице массы, назовем функцию U = f (x, y, z) потенциальной, или силовой функцией, а силы, удовлетворяющие условию (2.23), – имеющие потенциал.

Из теоретической механики известно, что силовая функция рав­на потенциалу сил, взятому с обратным знаком, т.е.

.

Из вышеизложенного следует, что равновесие жидкости воз­мож-но только в том случае, когда массовые силы имеют потенциал.

Уравнение (2.21) содержит две неизвестные величины p и r.

Связь р, r с температурой Т может быть выражена характерис­ти­­ческим уравнением.

Так для газов

.                                     (2.24)

Для несжимаемой жидкости характеристическое уравнение имеет вид:

.

В этом случае плотность r можно считать известной, тогда урав­нение (2.24) не требуется.

 

Контрольные вопросы

1. Дайте определение гидростатики как научной части дисцип­ли­ны «Прикладная МЖГ».

2. Перечислите силы, действующие на рассматриваемый объем жид­кости.

3. Дайте определение гидростатического давления.

4. Какова размерность давления?

5. В каких единицах измеряется давление?

6. Сформулируйте основную теорему гидростатики.

7. Сформулируйте основное условие равновесия жидкости.

8. Раскройте физический смысл проекций X, Y, Z.

9. Раскройте физический смысл потенциала сил.

 

Поверхность уровня

Поверхность, точки которой имеют одинаковые значения данной функции, называется поверхностью уровня (рис. 2.4). К поверх­ности равного уровня относятся:

– поверхности равного давления;

– изотермические поверхности (поверхности равной температуры);

– поверхности равной плотности и т.д.

 

 

Рис. 2.4

В гидравлике рассматриваются поверхности равного давления.

Принимая p = const (dp = 0) в основном уравнении гидростати­ки (2.21), c учетом того, что для жидкости r ¹ 0, получим:

.                           (2.25)

Уравнение (2.25) является дифференциальным уравнением поверхности уровня (здесь X, Y, Z являются функциями координат).

Поверхности уровня обладают следующими свойствами:

Первое свойство поверхности уровня заключается в том, что две различные поверхности уровня не пересекаются между собой.

Докажем это от обратного.

Допустим, что поверхности уровня пересекаются. Тогда во всех точках линии пересечения этих поверхностей давление одно­вре­менно должно быть равно р ₁ и р ₂, что противоречит основной тео­реме гидростатики, в которой доказывается, что гидростатическое давление р одинаково по всем направлениям.

Следовательно, две различные поверхности уровня не пересе­ка­ют­ся.

Второе свойство – внешние массовые (объемные силы) направ­лены по нормали к поверхности уровня (см. рис. 2.4).

Известно, что уравнение работы dA силы R на пути ds имеет вид:

,

где Rx, Ry и Rz –

проекции силы по координатным осям Ox, Oy и Oz.

Но

,

где dm –	элементарная масса;
X, Y, Z –	проекции ускорения силы R по тем же координатным осям.

Тогда

.

Но для поверхности уровня

.

Поэтому работа силы R (внешней объемной силы) равна нулю.

Следовательно, для поверхности уровня

,

где b = Ð(R,S).

Это возможно лишь при cosb = 0, т.е. внешняя сила должна быть нормальна к поверхности уровня, (b = 90°).