Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

При решении различных практических вопросов приходится иметь дело не с элементарными струйками, а с потоком реальной жидкости конечных размеров.

В этом случае уравнение Бернулли может быть получено путем суммирования элементарных струек.

Рассмотрим движение жидкости в канале переменного сечения при следующих допущениях:

1. Поток движущейся жидкости установившийся, т.е. , и подчиняется основному закону гидростатики: .

2. Затраты энергии на преодоление сопротивлений движению вязкой жидкости учитываются между сечениями потока величиной

 (рис. 3.11).

3. Кинетическая энергия определяется через среднюю скорость потока:

,

где n –	число струек;
u –	скорость в любой струйке.

 

 

 

Рис. 3.11

4. Жидкость несжимаема .

Умножив все члены уравнения для элементарной струйки, с учетом потерь энергии на , получим:

 

Суммируя по площади живого сечения, имеем:

            (3.22)

Рассмотрим каждый член уравнения отдельно.

Выражения  и  пред­став­ляют собой кинетическую энергию всей массы жидкости, протека­ющей в единицу времени через поперечные сечения 1-1 и 2-2.

С учетом допущения

 и .          (3.23)

Однако .

Объясняется это тем, что есть арифметическая сумма произведений расходов отдельных элементарных струек dQ на квадраты их действительных скоростей u ².

Произведение  – суммарный расход потока:

,

умноженный на среднюю скорость потока:

 

где n –

число струек.

Подобная замена требует корректировки кинетической энергии по­то­ка в выражении . Эта корректировка представляет собой от­но­шение действительной кинетической энергии жидкости, про­те­ка­ю­щей через поперечное сечение потока в единицу времени, к кинети­ческой энергии, которая имела бы место при том же расходе, если бы скорость жидкости во всех струйках была бы одинаковой и равнялась средней скорости, т.е.  – коэффициент Ко­риолиса.

С учетом того, что  и , получим

.

Обычно коэффициент Кориолиса определяется опытным путем на основании измерений скорости в различных точках исследуемого потока. Коэффициент a всегда больше единицы.

Для так называемого ламинарного режима движения жидкости в цилиндрической трубе коэффициент a = 2, а для турбулентного
a= 1,045-1,10.

Рассмотрим выражение второго члена уравнения (3.22), пред­ставляющего собой потенциальную энергию потока:

.        (3.24)

Третий член уравнения (3.22) представляет собой сумму работ сил сопротивления.

Подразумевая под Э1-2 осредненное значение потерь удельной энергии, получим:

.                             (3.25)

Подставляя выражения (3.23) и (3.25) в уравнение (3.22), получим:

.

Сокращая на r Q, после преобразования имеем:

 

или

,                     (3.26)

где  –

потери напора, м.

В общем виде уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости принимает форму

,                         (3.27)

где –

подразумеваемая средняя скорость потока.

При практических расчетах часто принимают a = 1, тем самым пренебрегают неравномерностью распределения скоростей.

Рассмотрим геометрический смысл уравнения Бернулли для потока жидкости, обладающей вязкостью (рис. 3.12).

 

Рис. 3.12

Сумма  в каждом сечении является пьезометрическим на­пором .

Линия, соединяющая отметки показаний пьезометров, назы­ва­ется пьезометрической линией.

Величина  называется скоростным напором

Сумма пьезометрического и скоростного напоров называется гидродинамическим, или полным напором, который можно выразить зависимостью

.

Линия, соединяющая отметки гидродинамических напоров вдоль движения, называется напорной линией, а ее уклон – гидрав­ли­ческим уклоном I.

Величина  в уравнении Бернулли представляет потери на­по­ра. Если потери напора отнести к единице длины потока, то полу­чим гидравлический уклон.

В горизонтальных напорных трубках потери напора возникают при уменьшении давления:

 – пьезометрический уклон;

 – гидравлический уклон.