Потери напора при равномерном движении

Рассмотрим равномерное движение в трубопроводе при следую­щих условиях:

1. Ускорение потока равно нулю, следовательно, силы инерции отсутствуют.

2. Средние скорости во всех поперечных сечениях одинаковы.

3. Местные сопротивления отсутствуют. Существуют сопротив­ле­ния по длине, вызывающие соответствующие потери напора на трение (рис. 3.16).

 

 

Рис. 3.16

4. Закон распределения давления между сечениями 1–1 и 2–2 подчиняется гидростатическому, т.е.

.

5. На объём жидкости между сечениями 1–1 и 2–2 действуют силы внешнего давления Р ₁и Р ₂ (Р = р w), сила тяжести  и сила сопротивления движению .

Пользуясь принципом Д’Аламбера, напишем уравнение дина­ми­ческого равновесия для массы жидкости, заключённой между сече­ниями 1–1 и 2–2 на оси х:

.                        (3.29)

В состав активных сил входят:

1. Сила земного притяжения , проекция которой на ось х равна:

.

Так как , то получаем

.                          (3.30)

2. С учётом допущения п. 4, равнодействующие сил давления Р ₁ и Р ₂ приложены в центрах тяжести сечений 1–1 и 2–2 и равны:

и .

Тогда сумма проекций на ось х

.                (3.31^)

3. Нормальные силы к оси х равны и противоположно направ-ле­ны, поэтому проекции сил N... N равны нулю.

Очевидно, что левая часть уравнения (3.30) составляет две силы, а именно:

.                 (3.32)

Силы сопротивления F _сопр определяются по касательным напря­жениям на стенке канала. Эти силы направлены параллельно оси потока в сторону, обратную движению жидкости.

 

 

 

 

Рис. 3.17

Обозначим силу сопротивления на элементарную площадку d c через dF, тогда для участка трубы  имеем:

.                                    (3.33)

После интегрирования, принимая  (c может изме-няться по периметру) в выражении (3.33), получим

,                (3.34)

где t0 –

среднее значение касательного напряжения на стенке.

С учётом уравнений (3.32) и (3.34) запишем уравнение динами­чес­кого равновесия в виде

.                     (3.35)

Разделив члены уравнения (3.35) на , получим

.                            (3.36)

Обозначим отношение , после преобразования выражения (3.36), имеем

.                      (3.37)

Сравним уравнение Бернулли, записанное для сечений 1–1 и 2–2:

.                     (3.38)

Так как при равномерном движении , то из сопоставления уравнений (3.37) и (3.38) находим

.                                     (3.39)

Учитывая, что  (где i – гидравлический уклон), преоб­ра­зуем выражение (3.39) к виду

или .                        (3.40)

Это уравнение академик Н.Н. Павловский назвал основным урав­нением равномерного движения.

Опытным путём Шези установлено, что величина  пропор­цио­нальна квадрату скорости, т.е.

,                                      (3.41)

где x–

коэффициент пропорциональности, в общем случае вели­чи­на переменная.

Подставим равенство (3.41) в выражение (3.39), получим фор­мулу Вейсбаха

.

Учитывая, что , преобразуем формулу Вейсбаха к виду

.

Обозначим , получим

,                                        (3.42)

где l–

коэффициент гидравлического трения.

Формула (3.42) именуется формулой Дарси-Вейсбаха. Она ис­поль­зуется для расчёта трубопроводов.

Учитывая, что  и , получим

.

Отсюда

.

Обозначив , м/с, получим формулу Шези

,

где С –

коэффициент Шези.

Формула Шези получила широкое применение в расчётах от­крытых потоков.

Анализ формулы (3.42) показывает, что потери пропор­цио­наль­ны квадрату скорости, а закон сопротивления называется законом квадратичного сопротивления.

В то же время установлено, что потери напора, помимо скорос­ти, зависят от характера режима, формы и размеров сечения, вяз­кос­ти жидкости, материала и состояния стенок.

Это не учитывается формулами Шези и Дарси-Вейсбаха.

На графике (рис. 3.18) показана зависимость потерь на трение в зависимости от скорости движения жидкости . Однако квад­ратичные формулы Шези и Дарси-Вейсбаха очень удобны для практических целей и обычно применяются как для турбулентного, как и для ламинарного режимов течения жидкости.

 

 

Рис. 3.18

Отклонения от квадратичного закона учитываются тем, что коэффициенты l и С ставятся в косвенную зависимость от скорости. Поэтому основная задача при определении потерь на трение при равномерном движении жидкости сводится к определению коэф­фи­циентов l и С при известной скорости движения жидкости.

 

3.14. Способы определения потерь напора
при равномерном движении жидкости

Основной формулой при расчёте напорных трубопроводов явля­е­т­ся формула Дарси-Вейсбаха:

,

а при расчёте течений в открытых руслах – формула Шези:

.

Применение этих формул связано с определением коэффициен­тов l и С.

При ламинарном движении жидкости коэффициент l для труб определяется по формуле

.                                        (3.43)

Впервые наиболее исчерпывающие данные о значении l были получены Никурадзе. Результаты показаны на рис. 3.19.

 

 

 

Рис. 3.19

В пределах прямой 1 коэффициент l зависит не от шерохо­ва­тости стенок трубы, а от числа Re (см. формулу 3.43). Прямая 2 представляет зависимость  для гидравлических гладких труб, у которых шероховатость меньше толщины ламинарного при­стенного слоя.

Коэффициент l для гидравлических гладких труб определяется по формуле Блазиуса (прямая 2):

                                   (3.44)

Между линиями 2 и линией 3 слева располагается зона А, в ко­то­рой l зависит как от числа Рейнольдса, так и от шероховатости по­верхности стенок труб.

Для определения l в этой области может применяться формула А. Д. Альтшуля:

,                          (3.45)

где k э –

эквивалентная равномерно зернистая шероховатость, опре­де­ляемая опытным путем.

В области Б коэффициент l зависит только от шероховатости.

Для определения l в этой области рекомендуется формула Никурадзе

,                              (3.46)

где r –	радиус трубы;
D –	абсолютная шероховатость стенок трубы.

Сущеструют формулы Ф. А. Шевелёва, Н. З. Френкеля, Л. А. Тепакса, Б. Н. Шифринсона, Н. Ф. Фёдорова и других.