Равновесие жидкости в поле земного тяготения

В качестве объемной силы в поле земного тяготения выступает сила тяжести.

Полное ускорения объемных сил равно ускорению свободного падения: g = 9,81 м/c².

В выбранной системе координат проекции единичной объемной силы на оси Ox, Oy и Oz будут следующими:

.

Знак «минус» в ускорении свободного падения соответствует направлению силы тяжести в отрицательную сторону оси Oz.

Подставляя значения X, Y, Z в уравнение поверхности уровня (2.25), получим

                                     (2.26)

и следовательно,

,                                  (2.27)

где с –

произвольная постоянная.

Уравнение (3.3) является уравнением семейства горизонтальных плоскостей.

Таким образом, поверхностью уровня (поверхность равного дав­ления) в однородной покоящейся жидкости будет любая горизон­тальная плоскость, в том числе и свободная поверхность, неза­висимо от формы сосуда или водоема. Горизонтальной плоскостью будет также граница раздела двух несмешивающихся жидкостей (рис. 2.5).

 

 

Рис. 2.5

Так, давление в точке А равно давлению в точке В, так как обе точки лежат на одной и той же поверхности уровня (поверхности равного давления).

 

 

2.9. Основное уравнения равновесия жидкости
в поле земного тяготения. Закон Паскаля

Воспользуемся основным дифференциальным уравнением гид­ро­статики (2.21):

.

Учитывая, что при действии силы тяжести на выделенный объем жидкости X = 0; Y = 0; Z = – g, получим

                                     (2.28)

или

.

Принимая r = const для несжимаемой жидкости, после интегри­ро­вания получим

.                              (2.29)

Постоянную интегрирования найдем из граничных условий. Для свободной поверхности жидкости (рис. 2.6) имеем:

.

где р 0 –

давление на свободной поверхности жидкости, обычно р 0 = р атм.

 

Рис. 2.6

Следовательно

.                                (2.30)

Решая совместно уравнения (2.29) и (2.30), получаем

.                      (2.31)

Уравнение (2.31) называется основным уравнением равновесия жидкости в поле тяготения.

Обычно уравнение (2.31) записывается в форме

.                              (2.32)

В уравнении (2.31) r g представляет собой силу, с которой поле земного тяготения действует на массу жидкости в объеме 1 м³, т.е. представляет собой вес, отнесенный к единице объема.

Слагаемые уравнения (2.31) выражены в единицах длины.

Так, z и z ₀ представляют собой высоту расположения точек над координатной плоскостью (yOx).

Другие составляющие уравнения (2.31) по своему физическому смыслу отличаются от высот z и z ₀, так как они зависят от р (при
r = const) и называются высотами гидростатического давления.

Величина Н ¢ = z +  постоянная для всех частиц жидкости, т.к. является координатой некоторой горизонтальной плоскости (xOy). Она расположена выше плоскости свободной поверхности жидкости на величину D h:

.                              (2.33)

Из уравнения (2.31) получим:

.                                (2.34)

Величина h представляет собой глубину погружения данной точ­ки под уровень свободной поверхности жидкости (см. рис. 2.6).

Разность давлений р – р ₀ представляет собой избыточное дав­ле­ние р _изб:.

,                                   (2.35)

где  р –	полное или абсолютное давление;
р 0 –	давление на свободной поверхности жидкости:

.

Соотношение между указанными выше давлениями можно пред­ставить в виде схемы (рис. 2.7).

 

 

Рис. 2.7

Абсолютное давление всегда положительная величина:

.                             (2.36)

Здесь р ₀ = р _атм на свободной поверхности жидкости.

Если р ₀ < р _атм, то

.                             (2.37)

Рассмотрим жидкость, покоящуюся в открытом резервуаре (рис. 2.8).

 

 

Рис. 2.8

Пусть требуется определить давление в точке А на уровне z.

Применим основное уравнение равновесия (2.31) к точке А и к точке В, расположенным на свободной поверхности жидкости на уровне z ₀.

Из уравнения (2.31) имеем

.

Отсюда

,                         (2.38)

где z 0 – z = h –

глубина погружения точки А под свободной по­верхностью.

Тогда                     .                       (2.39)

Величину r р h называют весовым давлением, так как оно об­ус­ловлено влиянием весомости самой жидкости, нахо­дя­щейся под си­ловым воздействием поля тяготения.

Согласно структуре формулы это давление избыточное, т.к.
p ₀ – давление на свободной поверхности покоящейся жидкости.

Рассмотрим графическое представление и энергетическую сущ­ность основного уравнения гидростатики.

Графическое изображение абсолютного и избыточного давления представлено на рис. 2.9 в координатах z и .

Рис. 2.9

Треугольником OAB выражает закон изменения абсолютного давления, а два треугольника с общей вершиной в точке G символи­зируют закон изменения избыточного давления.

Причем нижний треугольник BGE выражает , а верхний .

При условии, что  отрицательное избыточное давление называют вакуумом, а  – вакууметрической высотой.

Очевидно, что максимальное значение вакуума устанавливается на высоте H ^¢, где абсолютное давление равно нулю.

Энергетическую сущность основного уравнения гидростатики лег­ко представить, если выразить его в единицах работы (или энер­гии).

Для этого следует умножить уравнение на единицу, придавая ей размерность силы (1Н), тогда все члены уравнения будут выражены в единицах энергии (работы), т.е. в Дж.

Так как жидкость находится в равновесии, то она обладает только потенциальной энергией.

В нашем случае имеем:

, Дж –	потенциальная энергия, определяемая гидро-ста­ти­ческим давлением;
z, Дж –	энергия положения (данная масса жидкости рас­­по­ло­жена на высоте z от плоскости срав­нения);
H ^¢ = ( +z), Дж –	полный запас потенциальной энергии.

(Отнесенный к массе, вес которой равен 1Н, т.е. к массе

).

Из основного уравнения равновесия (2.32)

видно, что при изменении внешнего давления р ₀ на  давление во всех точках данной жидкости, находящейся в рав­но­весии, изменится на то же значениеD р ₀.

Таким образом, жидкость обладает свойством передавать дав­ление.

Это свойство жидкости положено в основу закона Паскаля, ко­торый формулируется cледующим образом: давление, которое воз­ни­кает на граничной поверхности жидкости, находящейся в равно­весии, передается всем частицам этой жидкости по всем направ­лениям без изменения передаваемого давления.

На законе Паскаля основан принцип действия различных гид­рав­лических устройств, с помощью которых давление передается на расстояние.

К таким устройствам относятся: гидравлические прессы, гид­ро­подъемники, гидродомкраты, гидравлические аккумуляторы, гид­равлические тормозные системы, гидромультипликаторы и др.

В качестве примера рассмотрим работу гидравлического пресса.

Гидравлический пресс применяют для получения больших сжи­мающих усилий, что необходимо, например, для деформации ме­тал­лов при обработке давлением (прессование, ковка, штамповка), при испытании различных материалов, уплотнении рыхлых мате­риалов, в технологических процессах по обезвоживанию осадков и т.д.

Принципиальная схема пресса представлена на рис 2.10.

 

 

Рис. 2.10

К поршню площадью F приложена сила Р ₁, которая передается жидкости, создавая давление р ₁:

.

По закону Паскаля давление передается на поршень площадью F ₂, создавая полезную силу, под действием которой прессуется материал:

.

Следовательно

                                      (2.40)

или

.                                    (2.41)

Из формулы (2.41) видно, что отношение усилий на малом и большом поршнях пропорционально квадрату отношения диаметров поршней.

Например, если диаметр большого поршня в десять раз больше диаметра малого поршня, то полезное усилие на большом поршне будет в 100 раз больше, чем на малом.

 

 

Примеры

Пример 1. Определить усилие, которое развивает гидрав­ли­чес­кий пресс, имеющий d ₂= 250 мм, d ₁ = 25 мм, a = 1м и b = 0,1м, если усилие, приложенное к рукоятке рычага рабочим, N = 200 H, а КПД равен 0,8.

Решение: Сила P ₂ определяется по формуле

 кН.

 

Пример 2. Гидромультипликатор (рис 2.11) служит для повыше­ния давления р ₁, передаваемого насосом или аккумулятором давле­ния.

Определить давление р ₂при следующих данных: G = 300 кг,
D = 125 мм, р ₁ = 10 кг/см², d = 50 мм. Силами трения в уплотне­ни­ях пренебречь.

 

 

Рис 2.11

Решение: Из условия равновесия цилиндра 2 имеем

.

Отсюда

.

 

 

Пример 3. Определить h _вак и построить эпюры вакуумет­ричес­кого и абсолютного давлений на стенку водяного вакууметра, если р _абс = 0,85×10⁵ Па, а в нижнем резервуаре вода.

Решение:

 м.

Эпюры вакууметрического и абсолютного давлений построены на рис. 2.12.

 

 

 

 

Рис. 2.12

Пример 4. Определить показания жидкостного манометра, при­соединенного к резервуару с водой, на глубине h = 1 м, если по по­ка­-заниям пружинного манометра давление р _м = 0,25×10⁵ Па (рис. 2.13).

 

 

 

Рис. 2.13

Решение: Так как пружинный манометр показывает 0,25×10⁵ Па, то

 Па.

В сечении 1-1 р _л = р _п, но при этом

.

Отсюда

или

;

отсюда

 м.

 

Контрольные вопросы

1. Что называется поверхностью уровня (поверхностью равного давления)?

2. Перечислите свойства поверхности уровня.

3. Что представляет собой поверхность уровня в поле сил тяго­тения?

4. Раскрыть физический смысл членов, входящих в основное дифференциальное уравнение гидростатики.

5. Раскрыть физический смысл членов, входящих в основное интегральное уравнение равновесия.

6. Что называется полным (абсолютным) давлением (показать схематически)?

7. Что называется избыточным давлением и вакуумом?

8. Что называется пьезометрическим и гидростатическим напо­ром?

9. Раскрыть энергетическую сущность основного уравнения гид­ро­статики.

10. Сформулируйте закон Паскаля.

11. Какие гидравлические устройства основаны на законе Пас­каля?

 

2.10. Относительное равновесие жидкости
в поле сил тяготения

Относительным равновесием жидкости называется такое со­сто­яние, при котором каждая ее частица сохраняет свое положение от­носительно твердой стенки движущегося сосуда.

При относительном равновесии надо решить две задачи.

1. Определить форму поверхности уровня.

2. Установить характер распределения давления.

Решение этих задач основано на дифференциальных уравнениях равновесия (2.21) и (2.25).

При относительном равновесии следует учитывать силы инерции, дополняющие систему массовых сил, действующих в жидкости, находящейся в состоянии абсолютного покоя.

Рассмотрим некоторые частные случаи такого равновесия.

1-й случай. Равноускоренное движение по вертикали. Вначале определим форму поверхности уровня.

Имеем общее дифференциальное уравнение:

.

При равноускоренном движении по вертикали внешними объем­ными силами будут сила тяжести и сила инерции (рис. 2.14).

 

 

Рис. 2.14

Их проекции или проекции ускорений X = 0; Y = 0; Z = (– g ± j) (при спуске (+ j) и при подъеме (– j)).

Уравнение поверхности уровня имеет вид

.                                  (2.42)

Отсюда следует, что если g ¹ j, то dz = 0, а потому

.                                    (2.43)

Выражение (2.43) представляет собой уравнение семейства гори­зон­тальных плоскостей как при подъеме, так и при спуске поверх­ности уровня.

Гидростатическое давление изменяется только по высоте.

Если g = j, то в уравнении (2.42) (– g+ j) = 0, а потому dz может равняться нулю. Если dz ¹0, то поверхность уровня может иметь любую форму (рис. 2.15), z ¹ const.

 

 

Рис. 2.15

Закон распределения давления находим из основного диффе­ренциального уравнения (2.21):

.

С учетом того, что X = 0; Y = 0; Z = (– g ± j), уравнение (2.44) преобразуется к виду:

.                           (2.44)

При равноускоренном движении (спуске) (– g+ j) можно записать

,                         (2.45)

а при равноускоренном подъеме (– g – j)

.                         (2.46)

Из уравнений (2.45) и (2.46) следует, что связь между p и z ли­нейная, как и при абсолютном равновесии.

Анализ уравнений (2.45) и (2.46) показывает, что произведение  можно рассматривать как условный вес, отнесенный к единице объема жидкости. Обозначим его g^¢, тогда при спуске и при j < g,  жидкость оказывается как бы более лег­кой, а при j = g получим  и, следовательно, g^¢ = 0, по­это­му жид­кость стала невесомой (см. рис. 2.15).

При равноускоренном подъеме , т.е. жид­кость становится как бы тяжелее.

2-й случай. Вращательное движение относительно вертикальной оси (рис. 2.16).

 

 

 

Рис. 2.16

Определим форму свободной поверхности и закон распре­де­ления давления.

Допустим, что жидкость в цилиндрическом сосуде вращается относительно оси z с постоянной угловой скоростью w. Определим форму свободной поверхности из общего дифференциального урав­нения поверхности уровня:

.                      (2.47)

С учетом осесимметричности движения относительно оси oz уравнение (2.47) можно записать в цилиндрических координатах:

,                              (2.48)

где Z = – g –	ускорение свободного падения;
R –	проекция ускорения центробежной силы, равного

,

здесь   u –	окружная скорость;
r –	радиус вращения.

 

Учитывая, что u = w r, имеем:

.

Очевидно, что уравнение поверхности в данном случае имеет вид:

.

Интегрируя это уравнение, получим

или

.                              (2.49)

Уравнение (2.49) представляет собой параболу в плоскости ro_z.

Очевидно, что для всей массы жидкости поверхность уровня будет параболоидом вращения.

Постоянная с находится из граничных условий. Так, при r = 0 из уравнения (2.49) получаем:

.                                       (2.50)

С учетом равенства (2.50) уравнение свободной поверхности име­ет вид:

,                         (2.51)

где h –

глубина на расстоянии r от оси вращения.

Таким образом, глубина h увеличивается с увеличением рас­сто­яния от оси.

Закон распределения давления находим из уравнения

.

Трехчлен правой части выразим в виде

.

Тогда

или

.

После интегрирования и изменения порядка слагаемых получим

.                          (2.52)

Найдем постоянную интегрирования с, принимая r =0, z = h ₀ и p = p ₀,

.                                    (2.53)

Подставляя формулу (2.53) в уравнение (2.52), получим

или

.                             (2.54)

Из уравнения (2.54) видно, что для любого заданного r =const, закон рас­пре­деления давления по высоте является линейным, т.е. таким же, как и без вращения:

.