Законы механического подобия

Полученные на модели результаты опытных исследований об­общаются и затем переносятся на натуру. Выполнение этой про­цедуры требует знаний законов, связывающих между собой вели­чины, полученные при исследованиях на модели, и соответствующие им величины в натуре.

Эти законы называются законами подобия. Они устанавливают определенные соотношения между геометрическими размерами, ки­не­матическими и динамическими характеристиками потоков в мо­дели и натуре.

Законы подобия подробно изучаются в специальных курсах теории подобия и моделирования.

Следует отметить, что теория подобия имеет большое теорети­чес­кое и практическое значение не только для моделирования раз­лич­ных явлений и процессов, но и прежде всего для научного обос­нования экспериментальных исследований, обработки их ре­зуль­та­тов и построения на их основе рациональных эмпирических формул.

Следует иметь в виду, что динамическое или вообще физическое подобие является обобщением геометрического подобия.

Рассмотрим способы получения масштабных коэффициентов для геометрического, кинематического и динамического подобия.

 

Геометрическое подобие

Пусть имеем натурный объект (поток) (рис. 7.1), подлежащий гидродинамическому исследованию, и его модель.

 

 

 

Рис. 7.1

Обозначим геометрические размеры объекта (натурного потока) индексом 1, а модельного – индексом 2.

Чтобы получить область течения в модели, геометрически по­доб­ную натурному потоку, разделим все линейные размеры натурного потока на некоторое число k, которое называется линейным масш­табом. Таким образом получаем связь между геометрическими раз­ме­рами а ₁ и а ₂, b ₁ и b ₂, в виде равенств:

.                                 (7.1)

Линейные размеры, связанные соотношением (7.1), называют соответственными, или сходственными.

Точки, координаты которых удовлетворяют этому соотношению, называют сходственными.

Безразмерные координаты сходственных точек одинаковы.

Обычно за единицу измерения всех линейных величин в со­от­ветст­вующих потоках принимают L ₁ (натура), L ₂ (модель) и нахо­дят линейный масштаб k_l:

.                                          (7.2)

Для площадей и объемов соответственно имеем:

                                (7.3)

Очевидно, что для геометрических подобных потоков необходи­ма пропорциональность соответствующих площадей и объемов.

 

Кинематическое подобие

Кинематическое подобие обязательно включает в себя геомет­ри­ческое подобие, т.е. для кинематического подобия необходимо, что­бы траектории частиц обоих потоков были подобны геометрически.

Кроме того, для кинематически подобных потоков отрезки тра­екторий соответствующих частиц натурного и модельного потоков, а также отрезки времени, в течение которых протекают соответ­ст­вую­щие процессы в натуре и в модели, должны быть пропорциональны.

Другими словами, если в первом потоке (натуре) частицы про­ходят путь L ₁ за время t ₁, то во втором потоке (модели) – путь L ₂ за t ₂.

Причем, отрезки L ₁ и L ₂ должны быть геометрически подобны, а отношение  должно быть одинаковым для сходственных точек обо­их потоков.

Отношение  называется масштабом времени и обозначается k_t. Например, для скоростей частиц жидкости в сходственных точках потока легко получить следующие выражения:

Тогда

.

Очевидно, что

.

Аналогично находим масштаб ускорений:

.

Таким образом, скорости и ускорения в сходственных точках по­тока связаны соотношениями

.                               (7.4)

 

Динамическое подобие

Динамическое подобие обязательно включает в себя геомет­ри­чес­кое и кинематическое подобия. В любых потоках, если физическая природа действующих на жид­кость сил одинакова и силы образуют геометрически подобные силовые многоугольники, они являются динамически подобными.

В динамически подобных потоках отношение одноименных сил в сходственных точках в натуре и на модели постоянны, т.е.

,                                  (7.5)

где Р –	любая сила, в том числе и равнодействующая;
kр –	масштабный коэффициент, или масштаб сил.

К силам, действующим в потоке жидкости, можно отнести: силы внутреннего трения жидкости, силы тяжести, силы поверхностного натяжения и др.

Для динамически подобных потоков отношение плотностей жид­кости в натуре и на модели должно быть постоянным:

.                                    (7.6)

Обозначим действующие в сходственных точках натурного и мо­дельного потоков силы Р ₁ и Р ₂ соответственно. По основному урав­не­нию динамики, известному из теоретической механики, сила рав­на произведению массы на ускорение:

,

где m –	масса жидкости;
а –	ускорение.

Учитывая, что масса равна произведению плотности на ее объем

,

где ,

тогда

.

Ускорение определяется приращением скорости  в единицу времени t, т.е. .

Следовательно,

.                       (7.7)

Таким образом, для динамического подобия необходимо, чтобы силы находились в соотношении

.                       (7.8)

Выражение (7.8) является математическим выражением общего закона динамического подобия, впервые сформулированным Ньютоном.

Преобразуем выражение (7.8) к виду

.                              (7.9)

Следовательно,  – критерий Ньютона. Критерий Нью­тона является обобщенным критерием динамического подобия меха­ни­ческих систем.

В гидродинамических исследованиях во многих случаях ока­зывается невозможным найти количественные оценки действующих внешних сил, а следовательно, и их равнодействующей. Поэтому при исследованиях гидравлических явлений часто выделяют только одну силу, а действием остальных пренебрегают. В этом случае применяют частные критерии Рейнольдса, Фруда, Вебера и др.