Анализ размерностей. p -теорема

При организации экспериментов необходимо с самого начала установить наиболее целесообразную методику их проведения и порядок обработки результатов опытов.

В практике гидравлических исследований метод анализа раз­мер­ностей нашел широкое применение. Этот метод позволяет заранее оп­ределить основные критерии подобия, в которых следует обра­ба­тывать результаты опытов, а также обобщать их и уста­навливать закономерности, отражающие исследуемый процесс.

Исходным для метода анализа размерностей является то, что любое математическое уравнение, описывающее физический про­цесс, обязательно должно быть размерно однородным.

Это означает, что обе его части имеют всегда одинаковую раз­мерность независимо от выбора системы физических величин.

Свойство однородности является основой теории размерностей. В механике в качестве основных физических величин принимают длину L, массу M и время T. Они независимы друг от друга.

В механике жидкости и газа не всегда удается воспользоваться основными физическими величинами, тогда принимаются любые, независимые друг от друга, например плотность, скорость, время.

Достоинством метода является то, что при его применении достаточно знать основные переменные величины, характеризующие данный процесс, само же уравнение, описывающее этот процесс, может быть неизвестно.

Обычно задача анализа размерностей решается путем опреде­ле­ния физических величин, которые полностью характеризуют дан­ный процесс. Затем устанавливается характер зависимости между вы­деленными величинами, исходя из принципа однородности раз­мерности с помощью так называемой p-теоремы.

Сущность p-теоремы состоит в следующем. В общем случае
p-тео­рема устанавливает связь между теорией подобия и теорией раз­мерностей.

Предположим, что переменная величина А ₁ зависит от ряда пере­менных: А ₂, А ₃, …, А _n, участвующих в каком-либо физическом процессе, и не зависит от каких-либо других переменных.

Тогда общая функциональная зависимость между этими вели­чи­нами может быть представлена уравнением

                               (7.28)

или

.

Пусть число определяющих размерных единиц, через которые могут быть выражены все n – переменные, равно m.

p-Теорема формулируется так:

Уравнение, связывающее между собой n размерных физических величин, характеризующих рассматриваемое явление, среди ко­торых m обладают независимой размерностью, может быть пре­об­разовано в n- m безразмерных комплексов, составленных из ука­занных величин.

p-Теорема устанавливает, что если указанные n переменных вы­разить через эти основные единицы, то их можно сгруппировать в n - m безразмерных p-членов:

,                          (7.29)

где каждое число p представляет собой безразмерное произведение нескольких А, то есть число членов в физическом уравнении со­кра­щается до n – m. Причем каждый такой p-член будет содержать m + 1 переменную величину. В гидродинамических задачах число таких переменных, входящих в p-члены, должно равняться четырем.

Три из них – определяющие: характерный размер (диаметр d), скорость течения жидкости u и ее плотность r (или вязкость m) входят в каждый из p-членов и только четвертая заменяется другой при переходе от члена к члену.

Для удобства исследования показатели последних принимаются рав­ными –1. Показатели степени определяющих переменных не­из­вестны. Обозначим их x, y, z с индексами, соответствующими ин­дек­сам p-членов.

Таким образом, имеем:

.                  (7.30)

Выражаем затем входящие в p-члены переменные через основные независимые размерности, но, поскольку эти члены являются без­размерными во всех полученных для них выражениях, то показа­те­ли степени каждой из основных размерностей должны обязательно рав­няться нулю.

 

 

Примеры

Пример. Рассмотрим применение p-теоремы для определения опытным путем потерь напора на трение по длине потока при равномерном напорном движении по трубам вязкопластичной бингамовской жидкости.

Известно, что потери напора, а следовательно, и давления D p зависят от следующих факторов:

– геометрических характеристик трубопровода диаметра d, дли­ны ℓ, шероховатости стенок D;

– физических свойств жидкости: плотности r, динамической вяз-кости m, начального напряжения сдвига t₀;

– средней скорости течения v.

Общую функциональную зависимость, связывающую эти вели­чи­ны, представим уравнением:

                             (7.31)

или

.                            (7.32)

В задачах прикладной механики жидкости и газа имеются три фи­зи­ческие величины, имеющие независимые размерности: масса [ M ], вре­мя [ T ], длина [ L ], то есть в этих задачах следует при­ни­мать m = 3. Это позволяет составить уравнение размерностей для каждого p-чле­на, соблюдая при этом обязательное условие их раз­мерной од­но­род­нос­­ти. Так как число основных размерных величин равно трем (m = 3), а переменных величин в уравнении (7.32) семь (n = 7), то по­лучим уравнение, состоящее из n - m безразмерных p-членов:

.                           (7.33)

Каждый p-член должен содержать четыре переменные величины. Принимаем в качестве определяющих переменных величин следующие:

– диаметр трубопровода d;

– среднюю скорость u;

– плотность жидкости r.

Комбинируя их поочередно с остальными переменными, входя­щи­ми в уравнение (7.32), получим:

                          (7.34)

Запишем размерности переменных величин, входящих в p-члены системы (7.34):

[ d ] = [ L ];                    [ v ] = ;                        [r] = ;

[m] =   = [ FTL ^-2] = ;                         [t₀] = ;

[D]=[ L ];                      [D p ] = ;                  = .

Составим уравнения размерностей для каждого из p-членов, имея в виду обязательное условие их размерной однородности. Для первого члена имеем

.    (7.35)

Найдем степени размерностей в левой части уравнения (7.35):

.

Приравнивая к нулю показатели степени при одинаковых ос­но­ваниях х, получим систему уравнений с неизвестными x ₁, y ₁, z ₁:

                          (7.36)

Из совместного решения уравнений (7.36) находим:

.

Подставив эти значения показателей степени в первый p-член системы уравнений (7.34), получим

,                                        (7.37)

где найденное значение p₁ представляет собой критерий Рейнольдса: .

Для второго p-члена имеем

Отсюда запишем систему уравнений:

Находим x ₂, y ₂, z ₂:

Запишем выражение для второго p-члена с учетом показателей степени:

или

.                                     (7.38)

Для третьего p-члена:

;

Отсюда

.

Решая систему уравнений, получим:

Тогда

или

.                                       (7.39)

Для четвертого p-члена:

.

Отсюда

.

Решая систему уравнений, получим:

Тогда

или

.                                   (7.40)

Подставив значения p-членов в соотношение (7.33), получаем уравнение:

.                 (7.41)

Решая уравнение (7.41) относительно p₄, находим

.                      (7.42)

Выделим D p из уравнения (7.42) и получим:

.                 (7.43)

Разделив левую и правую части уравнения (7.43) на r g, на­ходим:

.

Обозначим

и получим выражение для потери напора:

.

Тогда общее выражение для l примет вид:

.                          (7.44)

Знаменатель выражения (7.44) представляет собой крите­ри­аль­ное уравнение, включающее критерии:

 – критерий Рейнольдса;

 – критерий пластич­нос­ти;

здесь  –

критерий Сен-Венана (Ильюшина) – есть ха­рак­теристика пластичности жидкости.

Отношение  является характеристикой геометрического подо­бия .

Следовательно, можно выразить l в следующем виде:

.                    (7.45)

Для ньютоновской жидкости t₀ = 0, поэтому при турбулентном ре­жиме имеем

.

При ламинарном режиме (e = 0), тогда

.

Таким образом, применение метода анализа размерностей по­зво­лило выявить основные критерии подобия, характеризующие потери напора на трение по длине трубопровода.

В этих критериях производится обработка опытных данных на модели та­ким образом, чтобы соблюдалось их равенство в натуре.

 

Контрольные вопросы

1. Сущность частичного моделирования.

2. Сущность частичного моделирования по критерию Рейнольдса.

3. Сущность частичного моделирования по критерию Фруда.

4. Сущность анализа размерностей и его достоинства.

5. Сущность p-теоремы.

6. Какие основные физические величины приняты в механике жидкости и газа?

7. Запишите размерность физических величин r, m, t₀, u.

8. Как определяется число p-членов?