Гидродинамические критерии подобия

Рассмотрим порядок получения критериев, в которых учи­ты­ва­ется действие тех или иных сил.

1. Рассмотрим движение вязкой жидкости по горизонтальному тру­бо­про­воду. В этом случае решающее значение имеют силы внутрен­него трения.

По основному закону внутреннего трения эти силы могут быть выражены следующим образом:

.                    (7.10)

Для натурного и модельного потоков получим отношение вида

.                               (7.11)

Приравнивая правую часть отношения (7.11) к полученному выше основ­ному уравнению динамического подобия, получим

.                             (7.12)

Преобразуем выражение (7.12) к виду

.

Заменив отношение  кинематической вязкостью n, получим

.                                (7.13)

Отсюда критерий Рейнольдса

,                                      (7.14)

где l –

характерный размер, в частном случае – диаметр трубы d:

.                                     (7.15)

Следовательно, в рассматриваемом случае критерием дина­ми­ческого подобия является число Рейнольдса и условие подобия (7.13). Это равносильно тому, что число Re одинаково для обоих потоков.

Физический смысл критерия Рейнольдса. Критерий Re харак­те­ризует отношение силы инерции к силе трения (вязкости).

Рассмотрим движение по трубопроводу неньютоновской вязко­пластичной жидкости при определении сил внутреннего трения.

Силы внутреннего трения в этом случае обусловлены как вяз­кими, так и пластичными ее свойствами. Тогда необходимо учиты­вать напряжение сдвига t₀, а именно:

.                       (7.16)

Запишем уравнение (7.8) с учетом уравнения (7.16):

.

Преобразуем это выражение к виду

,

тогда

,

где  –	критерий Рейнольдса для ньютоновской жидкости;
–	критерий Сен-Венана (Ильюшина), характеризую­щий пластические свойства жидкости.

Окончательно можно записать:

.                        (7.17)

2. Если влияние вязкости жидкости незначительно и движение жидкости преимущественно обусловлено действием сил тяжести, то в основное уравнение динамического подобия (7.8) вместо силы Р надо подставить значение силы тяжести:

,                                 (7.18)

где  –	масса жидкости;
g –	ускорение силы тяжести.

Запишем уравнение (7.8) с учетом формулы (7.18)

 

или после сокращений

.                             (7.19)

Выражение (7.19) называется законом подобия Фруда, а  – критерием Фруда. Критерий Фруда характеризует отно­ше­ние силы инерции к силе тяжести.

Критерий Фруда применяется при моделировании большинства гидротехнических сооружений, истечении жидкости через водо­сли­вы, при изучении волнового сопротивления, испытываемого дви­жу­щимися кораблями.

Если преобладающее влияние имеет сила поверхностного на­пря­жения (например при истечении жидкости из капиллярных отверстий), то в уравнение (7.8) вместо силы Р следует подставить вы­ра­жение силы поверхностного натяжения:

.                        (7.20)

Тогда имеем

.

Отсюда получим

.                         (7.21)

Выражение (7.21) называется законом подобия Вебера, а  – это критерий Вебера. Он характеризует отношение сил инерции к силам поверхностного натяжения.

 

Контрольные вопросы

1. Раскройте сущность физического моделирования.

2. Раскройте сущность математического моделирования.

3. Что называется законами механического подобия?

4. Раскройте сущность геометрического, кинематического и ди­на­мического подобия.

5. Что такое коэффициенты подобия?

6. Что такое критерий Ньютона?

7. Раскройте физический смысл критерия Рейнольдса.

8. Раскройте физический смысл критерия Фруда.

9. Раскройте физический смысл критерия Вебера.

10. Что характеризует критерий Сен-Венана (Ильюшина)?

 

 

Физическое моделирование

Физическое моделирование находит широкое применение при опытных исследованиях в области гидравлики. Моделирование ос­новано на создании модели, имеющей ту же физическую природу, что и процессы, протекающие в натуре. Достоинством этого метода является возможность изготовления модели в любом произвольном масштабе и применения на модели любой жидкости.

Обычно модель выполняется меньших размеров, чем в натуре, что значительно удешевляет и упрощает проведение опытов. Полу­ченные результаты опытов обрабатываются и обобщаются с целью переносов их в натуру. Физическое моделирование базируется на законах теории механического подобия и теории размерностей.

На практике обычно применяется частичное, или приближенное, моделирование. В этом случае модель исследуется по основным признакам, соответствующим реальному процессу.

При частичном моделировании используются свойства прибли­жен­ного подобия по одному из определяющих критериев.

В этом случае основной задачей является определение связи меж­ду определяющими и неопределяющими критериями, а также нахождение масштабов для основных физических величин.

Непременным условием при физическом моделировании являет­ся строгое геометрическое подобие модели и натуры, а также ра­венство в них соответствующих критериев подобия.

Рассмотрим примеры частичного физического моделирования.

 

Примеры

Пример 1. Частичное моделирование по критерию Рейнольдса.

Если при движении жидкости преобладающими силами, опре­де­ляющими движение жидкости или газа, являются сила трения и инер­ции, то моделирование проводится по критерию Re.

Согласно условию динамического подобия

.                         (7.22)

Причем вязкость жидкости на модели и в натуре одна и та же, то есть .

Соотношение (7.22) принимает вид:

.                            (7.23)

Отсюда просто определяется масштаб скоростей:

.

Масштабы других физических величин находятся следующим образом.

Например, определение масштаба расхода вычисляется из урав­нения расхода

.

Для динамически подобных потоков определяется комбинация масштабных коэффициентов, с учетом соотношения (7.23):

,

где             –	масштаб расхода;
–	масштаб скорости;
–	масштаб площади.

По аналогии можно получить масштабы других физических величин.

При частичном моделировании, по критерию Рейнольдса, одним из основных признаков динамического подобия потоков с преобла­дающим действием сил трения является равенство коэффициентов гидравлического сопротивления по длине, то есть .

Это свойство широко используется при моделировании по кри­терию Рейнольдса.

Пример 2. Частичное моделирование по критерию Фруда.

Моделирование по критерию Фруда применяется при изучении потоков, в которых преобладают силы инерции и тяжести, на­пример при изучении гидравлических струй и др.

Динамическое подобие потоков обеспечивается равенством кри­терия Фруда на натуре и модели.

 или, при условии, что :

.                                 (7.24)

Из соотношения (7.24) определим масштаб скоростей:

.

Отсюда  или .

Аналогично можно получить масштабы других физических величин.

 

Пример 3. Предположим, что исследуется движение вязкой жид-кости в трубопроводе, в котором при моделировании следует учи­тывать как силы внутреннего трения жидкости, обусловленные ее вязкостью, так и массовые гравитационные – силы тяжести.

Для обеспечения полного динамического подобия требуется ра­венство критериев Re и Fr на модели и в натуре.

Для одних и тех же гравитационных условий принимаем .

Тогда при моделировании по Рейнольдсу отношение средних ско­ростей движения жидкости в трубопроводе (натурном и мо­дельном) должно удовлетворять условию:

.                              (7.25)

При моделировании по Фруду

.                                (7.26)

Сопоставляем полученные выражения (7.25) и (7.26) и находим

.

Отсюда

.                               (7.27)

Из выражения (7.27) следует, что для соблюдения полного ди­на­мического подобия в модели должна применяться жидкость, кинематическая вязкость которой  будет в k ^1,5 раз меньше  натурной жидкости.

Например, если при моделировании принять линейный масштаб , то

.

Очевидно, что найти жидкость со столь малой вязкостью прак­тически невозможно.

Это указывает на то, что при реальных масштабах физических ве­личин подтверждается несовместимость двух основных критериев подобия: Re и Fr.

Кроме того, очевидна невозможность полного динамического по­до­бия потоков одной и той же жидкости.

В некоторых случаях для приближенного моделирования исполь­зуют методы напорно-воздушного моделирования, с частичным ис­ка­жением геометрического подобия. Эти методы изложены в спе­циальной литературе.