Построение развёрток геометрических фигур

 

 

Развёртка – это плоская фигура, которую получают путём последовательного совмещения прямолинейных образующих развёртываемой фигуры с некоторой плоскостью.

Развёртки используют для раскроя листовых заготовок при изготовлении оболочковых изделий (химических аппаратов, ёмкостей, воздуховодов, кожухов приборов и т.п.).

Построение развёрток гранных поверхностей

 

Последовательность построения

1.Определяют истинные величины всех сторон граней (для четырёхугольных граней дополнительно определяют их диагонали или высоты).

2.Используя полученные параметры граней, строят одну из них.

3.Последовательно к первой пристраивают все остальные грани.

Пример 1 (рис. 9.1). Построить развёртку пирамиды (S,ABC).

 

S S

B B

 

A B C A C

S Развёртка пирамиды

A C

 

S

B ив |SB|

 

Рис. 9.1

 

Алгоритм построения

1.Стороны основания пирамиды изображены на чертеже как отрезки горизонталей.

2.Рёбра SA и SC изображены на чертеже как отрезки фронталей.

3.Ребро SB определяем методом прямоугольника.

4.Развёртку начинаем с построения грани S A C . Далее пристраиваем с обеих сторон грани S A B и S C B .

 

 

Пример 2 (рис. 9.2). Построить развёртку призмы .

 

 

B A B

A

C

1 2 C = C 1 2

 

 

 

B = 2

Развёртка призмы

A = 1 C

 

Рис. 9.2

 

Алгоритм построения

 

1.Через точку С проведём секущую плоскость (1,С,2) параллельно горизонтальной плоскости проекций, т.е. перпендикулярно рёбрам. Все стороны треугольника сечения 1С2 являются высотами соответствующих граней призмы и определены на чертеже как отрезки горизонталей. Рёбра призмы тоже определены на чертеже как горизонтально проецирующие отрезки.

2.Строим грань A C C A и пристраиваем к ней последовательно все остальные грани.

 

Построение развёрток кривых поверхностей

 

 

Среди кривых поверхностей есть развёртываемые (у них образующие – прямые линии) и не развёртываемые поверхности (например, сфера).

 

 

Пример 1 (рис. 9.3). Построить развёртку цилиндра вращения с радиусом окружности основания r и высотой h.

 

Алгоритм построения

Поверхность развёртываема. Её развёртка представляет собой прямоугольник высотой h и с основанием, равным длине окружности основания цилиндра (2 r).

 

 

Развёртка

цилиндра h

 

2 r

 

r

 

 

Рис. 9.3

 

Пример 2 (рис. 9.4). Построить развёртку конуса вращения с радиусом окружности основания r и длиной образующей l.

 

Алгоритм построения

Поверхность развёртываема. Развёртка конуса вращения представляет собой сегмент (вершина S) радиусом R = l и с углом при вершине сегмента = 2 r / R (рад).

 

 

S

 

l Развёртка конуса

S

R = l

 

S

=

L = R = 2 r

r

 

 

Рис. 9.4

 

Пример 3 (рис. 9.5). Построить развёртку конуса общего вида , основание которого представляет собой горизонтально расположенную окружность m.

 

 

Алгоритм построения

Поверхность развёртываема, но поскольку образующие конуса имеют переменную длину, то для построения развёртки используют приближённый метод, при котором развёртка конуса заменяется развёрткой вписанной n -гранной пирамиды.

 

 

S

 

ив |S4|

4

5

1 4

S

5

1 2 4

3

S

1

 

ив 2

 

3

Полуразвёртка конуса

4

5

 

 

Рис. 9.5

 

 

Пример 4 (рис. 11.6). Построить развёртку цилиндра общего вида , у которого плоскость одного основания (окружности) занимает горизонтальное положение, а плоскость другого – профильное.

 

 

Полуразвёртка 4

цилиндра

3

 

2

2

1 = 1 3 4

 

 

 

1 4

3

2

 

Рис. 9.6

 

 

Алгоритм построения

Поверхность развёртываема. Однако образующие цилиндра имеют переменную длину, поэтому развёртку строят приближенным методом, заменяя развёртку цилиндра развёрткой вписанной в цилиндр n - гранной призмы.