Конструктивные задачи графического моделирования

 

Конструктивными называют задачи, связанные с конструированием геометрических фигур, их взаимного положения, а так же взаимного положения их элементов по заданным условиям. Эти задачи являются, обычно, разновидностью комплексных, включая в себя, как правило, несколько позиционных и метрических задач. Решение конструктивных задач связано с реализацией на чертеже заданных геометрических условий.При описании геометрических условий и решений конструктивных задач геометрические фигуры (линии и поверхности) удобно моделировать, как множество точек или множество прямых, отвечающих заданным условиям.

 

 

Примеры конструктивных задач

со множеством точек (ВМТ)

 

Пример 1 (рис. 8.1). Построить на заданной плоскости всё множество точек (ВМТ), равноудалённых от заданной на ней точки O.

Решение

Это окружность m на заданной плоскости с центром в точке О.

 

Пример 2 (рис. 8.2). Построить ВМТ, равноудалённых от заданной пространственной точки О.

Решение

Это сфера с центром в т. О.

O m =

 

 

O m

 

Рис. 8.1

 

 

 

O

 

 

O

 

Рис. 8.2

 

Пример 3 (рис 8.3). Построить ВМТ, равноудалённых от заданной прямой i.

 

Решение

Это цилиндр вращения с осью i.

 

 

i

 

 

 

i

 

 

Рис. 8.3

 

Пример 4 (рис. 8.4). Построить ВМТ, равноудалённых от двух заданных точек А и В.

Решение

Это плоскость , проходящая перпендикулярно отрезку АВ через его середину (точку М).

 

B

 

M

A

 

 

A M B

 

Рис. 8.4

 

Пример 5 (рис. 8.5). Построить прямую a, все точки которой были бы равноудалены от заданных точек А и В, при этом прямая a должна быть параллельной плоскости .

Решение

Прямая а расположена в плоскости предыдущего примера. Она перпендикулярна отрезку АВ.

 

 

a = B

 

M = K

A

 

 

A M B

a K

 

 

Рис. 8.5

 

Пример 6 (рис. 8.6). Построить ВМТ, равноудалённых от двух заданных пересекающихся плоскостей: и .

Решение

Это две биссекторные плоскости: и .

 

 

 

Рис. 8.6

 

 

Примеры конструктивных задач

со множеством прямых линий (ВМП)

 

Пример 1 (рис.8.7). Построить всё множество прямых (ВМП), проходящих через заданную точку A перпендикулярно заданной прямой b.

 

Решение

Это плоскость (h f), проходящая через заданную точку А перпендикулярно прямой b.

A h b

 

 

f

 

h

 

f

A f b

 

Рис. 8.7

 

Пример 2 (рис. 8.8). Даны скрещивающиеся прямые линии: а и b. Построить ВМП, пересекающих прямую a и параллельных прямой b.

 

Решение

Это плоскость (c a), проходящая через прямую a параллельно прямой b.

с || b a

 

 

b

c || b

 

a

b

 

Рис. 8.8

 

 

Пример 3 (рис. 8.9). Построить ВМП, равноудалённых от заданной прямой а.

 

Решение

Это цилиндр вращения , у которого заданная прямая а – ось вращения.

 

 

a

 

 

 

a

 

 

Рис. 8.9

 

Пример 4 (рис. 8.10). Построить ВМП, проходящих через заданную т. А и пересекающих заданную плоскость под одинаковым углом.

 

Решение

Это конус вращения , у которого ось i расположена перпендикулярно заданной плоскости .

A

i

 

 

i = A

 

 

Рис. 8.10

 

 

Пример 5 (рис. 8.11). Построить ВМП, равнонаклонённых к пересекающимся плоскостям и .

 

Решение

Это биссекторные и перпендикулярные им плоскости и .

 

 

 

 

Рис. 8.11

 

Пример 6. Определить геометрическую фигуру, представляющую собой ВМП, скрещивающихся с заданной прямой i под одинаковым углом и равноотстоящих от неё.

 

Решение

Это однополостный гиперболоид вращения с осью вращения i.

 

 

Примеры решения конструктивных задач

 

 

Пример 1 (рис. 8.12). Построить ВМТ, равноудалённых от двух заданных параллельных прямых а и b.

 

Решение

Это плоскость , проходящая через середину их общего перпендикуляра и перпендикулярно ему (параллельно прямым а и b).

 

a

 

b

b

 

b

a

 

a

 

Рис. 8.12

 

 

Пример 2 (рис. 8.13). В заданной грани АВС построить ВМТ, равноудалённых от заданных точек М и К, расположенных вне плоскости (АВС).

 

Решение

 

Это прямая m – результат пересечения плоскости (АВС) плоскостью , проходящей через середину отрезка МК перпендикулярно ему.

 

Пример 3 (рис. 8.14). В плоскости (А, b) через точку А провести прямую l под углом к плоскости проекций .

 

Решение

 

Всё множество прямых l, которые проходят через точку А под углом к плоскости , есть конус вращения , у которого A i , угол (l ) = . Искомая прямая – одна из двух образующих l , являющихся результатом пересечения этого конуса с плоскостью (A, b).

 

 

B M

m

 

A C K

C

 

A M = K

m

B

 

Рис. 8.13

 

 

b

A

h

i

 

l l

h

 

b

 

 

A

 

h h ||h l l

 

Рис. 8.14

 

 

Пример 4 (рис. 8.15). Построить ВМП, проходящих через заданную точку М и касательных к заданной сфере .

 

Решение

Это конус с вершиной в точке М и касательный к сфере по линии m - окружности. Оси конуса и сферы совпадают: i = i . Решающее положение: оси i и i параллельны плоскости .

 

 

 

M

M

M

i = i

 

m

 

Рис. 8.15

 

 

Пример 5 (рис. 8.16). На прямой а определить точки, равноудалённые от заданной точки А на заданном расстоянии r.

 

Решение

Это точки В и С – точки пересечения с прямой а окружности m радиусом r и с центром в точке А, лежащей в плоскости (А, а). Решающее положение: плоскость || .

 

A a

r

a

B C

A a

r

m

A

 

 

Рис. 8.16