Особенности решения задач на пересечение

поверхностей вращения, описанных вокруг сферы (теорема Г. Монжа)

 

Две поверхности вращения второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной кривой четвёртого порядка. Однако в некоторых частных случаях эти кривые выраждаются в плоские кривые линии второго порядка. Известный французский геометр Г. Монж доказал следующую теорему: Если две поверхности вращения описаны вокруг сферы, то результатом их взаимного пересечения являются две плоские кривые второго порядка.

Пример (рис. 6.43). Построить фронтальные проекции линий пересечения двух цилиндров и , описанных вокруг сферы .

 

C D

 

m A = (B )

 

m

 

F E

Рис. 6.43

 

 

Решение

Плоскости кривых линий пересечения фигур m проходят через прямую, соединяющую точки двойного соприкосновения. Точками двойного соприкосновения называют 2 точки, в которых сфера одновременно касается обеих поверхностей. В нашем случае точками двойного соприкосновения являются точки А и В. Они определяются как точки пересечения окружностей a и b , по которым цилиндры касаются вписанной сферы . Плоскости кривых пересечения фигур m занимают фронтально - проецирующее положение и проходят через точки пересечения главных меридиан, т.е. через точки C, D, E, F. Линии пересечения заданных фигур m являются эллипсами.

 

Вопросы для самоконтроля

 

1. Назвать основные разновидности кривых поверхностей.

 

2. Какие правила используют при построении точек или линий заданной кривой поверхности?

 

3. Назвать порядок решения задач (алгоритм) – 1.ГПЗ с кривыми поверхностями.

 

4. Назвать порядок решения задач (алгоритм) – 2.ГПЗ с кривыми поверхностями.

 

5. Какие виды линий можно получить, пересекая цилиндр вращения плоскостью?

 

6. Какие виды линий можно получить, пересекая конус вращения плоскостью?

 

7. В чём смысл теоремы Г.Монжа о пересечении поверхностей вращения?

 

7. Решение задач с преобразованием чертежа

 

Любые графические задачи (позиционные, метрические, комплексные) значительно упрощаются, если геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций, т.е. они или параллельны, или перпендикулярны им. Такое положение фигур позволяет сразу получить на чертеже требуемое решение, поэтому его называют решающимположением.

Например, истинная величина отрезка определится сразу по чертежу, если отрезок займёт положение прямой уровня.

Чтобы получить решающее положение фигуры, чертёж преобразовывают, строя новые (дополнительные) проекции фигуры на основе имеющихся проекций.

 

Применяют следующие способы преобразования чертежа.

 

1. Вращение заданной фигуры вокруг проецирующей оси (рис. 7.1).

 

 

и.в. |AB| B

A

 

A

A

 

 

A B

 

Рис. 7.1

 

2. Вращение фигуры вокруг прямой уровня (рис. 7.2).

3. Введение новых, дополнительных плоскостей проекций, ортогональных к уже используемым в чертеже плоскостям проекций и относительно которых рассматриваемая геометрическая фигура займёт решающее положение.

 

и.в. |AB| B

f = i

A

A

 

 

C

A C B

 

B

ив |AB|

f = i

A

 

Рис. 7.2