Пересечение кривой поверхности с плоскостью

На чертеже (2.ГПЗ)

Решение задач 2.ГПЗ. 1 (, )

 

Алгоритм решения

1.Искомые проекции линии пересечения проецирующих геометрических фигур уже изображены на чертеже по принадлежности их главным проекциям.

2.Определяют видимость элементов геометрических фигур.

 

Пример. Определить возможные варианты линий пересечения цилиндра вращения с плоскостью . Принять, что геометрические фигуры занимают проецирующее положение.

Возможны три варианта линий пересечения.

Вариант 1 (рис 6.27).

Заданная плоскость || i. Результат пересечения: k = - прямые линии.

 

 

i

 

k

k

 

 

 

i

 

 

k

k

 

Рис. 6.27

 

Вариант 2 (рис. 6.28).

Заданная плоскость i. Результат пересечения: m = - окружность.

 

 

i

 

m

 

 

i

 

= m

 

 

Рис. 6.28

 

Вариант 3 (рис. 6.29).

Заданная плоскость l, не i. Результат пересечения: n = - эллипс.

 

n = n

 

 

 

i

 

i

 

Рис. 6.29

 

Решение задач 2.ГПЗ. 2 (, не )

 

Алгоритм решения тот же, что и при решении задач на пересечение плоских поверхностей:

 

1.Одна из искомых проекций линии пересечения геометрических фигур уже изображена на чертеже по её принадлежности главной проекции проецирующей фигуры.

2.Вторую проекцию строят по признаку её принадлежности геометрической фигуре общего положения.

3.Определяют видимость элементов заданных фигур.

 

 

Пример.

Построить возможные варианты линий пересечения конуса вращения с плоскостью (принять секущую плоскость проецирующей).

 

Вариантов линий – пять.

Вариант 1 (рис. 6.30).

S.Результат пересечения – прямые образующие l и l .

 

 

l

 

 

=l l

 

 

Рис. 6.30

Вариант 2 (рис. 6.31).

i.Результат пересечения – окружность m.

 

m

 

 

 

m

 

 

Рис. 6.31

 

 

Вариант 3 (рис. 6.32).

не i, l. Результат пересечения – эллипс n.

= n

 

 

n

 

Рис. 6.32

Вариант 4 (рис. 6.33).

|| l . Результат пересечения – парабола m.

 

 

 

 

|| l l

m

 

 

 

m

 

Рис. 6.33

Вариант 5 (рис. 6.34).

|| , || l . Результат пересечения – гипербола n.

 

|| l l

n

 

n

 

 

Рис. 6.34

 

Решение задач 2.ГПЗ. 3 (не , не )

 

Эти главные позиционные задачи решают, как и при решении задач на пересечение плоских поверхностей, с использованием метода введения дополнительных плоскостей – посредников.

 

Алгоритм решения

 

1.Строят вспомогательную проецирующую плоскость - посредник так, чтобы она пересекла обе заданные геометрические фигуры (поверхности).

2.Определяют обе линии пересечения посредника с заданными геометрическими фигурами, т.е. решают две задачи 2. ГПЗ. 2.

3.Определяют точки пересечения построенных линий. Эти точки - общие для заданных геометрических фигур.

4.Для получения достаточного числа общих точек пересекающихся фигур определяют и строят необходимое количество посредников. По полученным точкам строят проекции искомой линии пересечения.

5.Определяют видимость элементов заданных геометрических фигур.

 

Пример (рис. 6.35). Определить и построить линию пересечения конуса вращения с гранью .

 

(P ) l P

 

 

P P P P = l

 

 

Рис. 6.35

Решение

1. Результат пересечения: плоская кривая – эллипс.

2. Выбираем первую плоскость - посредник || так, чтобы она проходила через окружность основания конус. Получаем точки эллипса P . Через середину хорды P P и ось конуса проводим вторую плоскость - посредник , которая проходит через ось эллипса пересечения и его образующую l. Получаем точку эллипса P . В примере графическое решение закончено на этом этапе.

3. Проводя ещё несколько плоскостей-посредников, по полученным точкам строят линию пересечения - эллипс.

4. Определяется видимость элементов грани и конуса.