Результатов неравноточных измерений

Понятие веса результатов однородных измерений. Если одна и та же вели-

чина измерялась в условиях неравноточности (см. п. 7.1), то совместная математи-

ческая обработка результатов измерений должна выполняться с учетом их относи-

тельной надежности, которая характеризуется весом данного результата. Понятно,

что результат измерения будет тем надежнее, чем меньше его ошибка. Поэтому под

весом р результата измерения понимают величину, обратно пропорциональную

квадрату средней квадратической погрешности m данного результата, которую

вычисляют по формуле

р = с / m 2,

 

(7.40)

где с – произвольная постоянная, значение которой выбирают так, чтобы веса были

близкими к единице, что упрощает вычисления.

Обозначим через Р вес среднего арифметического, а через р – вес отдельного

результата равноточных измерений, тогда с учетом формулы ((7.31) Р = с / М 2 = с /

(m2: n), где согласно (7.40) с = р m 2, откуда

Р/р = n;

Р = р n,

 

(7.41)

 

 

следовательно, вес среднего арифметического в n раз больше веса отдельного ре-

зультата равноточных измерений.

Среднее весовое. Пусть некоторая величина измерена неравноточно, а резуль-

татам измерений l 1, l 2,…, ln соответствуют веса р 1, р 2, …, рn, тогда среднее весовое

или вероятнейшее значение среднего результата вычисляется по формуле

 

 

l 1 р 1 + l 1 р 1 +… + l n р 1

 

 

n

 

 

n

L 0 =

= (∑ l 1 р 1) / (∑ р 1).

(7.42)

р 1 + р 2 +…+ рn

1

 

 

Пример 6. Пусть l 1 = 103,0; l 2 = 103,8; р 1 = 2; р 2 = 4. Требуется вычислить

среднее весовое значение L 0.

Р е ш е н и е. L 0 = 100 +(3,0×2 + 3,8×4)/(2 + 4) = 103,53. Изменим веса, разделив

их р 1, получим р' 1 = 1; р' 2 = 2 и убедимся, что результат L 0 = = 103,53 не изме-

нился.

Частный случай среднего весового. Если каждый результат l i получен с одина-

ковым весом рi = р, то такие измерения равноточны и формула (7.42) принимает

вид формулы (7.7) среднего арифметического.

Оценка точности результатов неравноточных измерений. В формуле (3.40)

примем р = 1, тогда с = m 2 i. Значение с при безразмерном р = 1 называется средней

квадратической погрешностью единицы веса и обозначается через µ. В соответст-

вии с формулой (7.40) напишем соотношение

 

 

μ2 / m 2 i = рi,

откуда

μ = mi √ рi.

 

(7.43)

 

При оценке точности результатов неравноточных измерений вычисляют их

среднее весовое L 0 по формуле (7.42), отклонения отдельных результатов от сред-

него весового δi = li – L 0 и среднюю квадратическую погрешность единицы веса:

 

.

 

.

 

 

n

μ =√

(δ 2 1

р 1 +

δ2 2

р 2 +…+

δ2n

рn)/(n - 1) =

(∑δ2 i рi)/ (n–1),

(7.44)

.

 

Средняя квадратическая погрешность величины L 0

 

 

где

 

n

∑ рi –

 

М 0 = μ /

 

 

вес значения L 0.

 

 

n

∑ рi,

 

(7.45)

 

 

Общие сведения о технических средствах