Интервальные характеристики точности результатов измерений.

дарт и СКО, позволяют дать общую вероятностно-статистическую оценку погреш-

ностей данного ряда измерений и погрешности окончательного результата L. Как

показано на рис. 7.1, в интервале от – m до + m концентрируются случайные по-

грешности (∆ i), не превышающие по модулю значения │m│, т.е. (∆ i) ≤│m│, а

число таких величин составляет 68% от всего множества ∆ i при n → ∞. В интер-

вале от –2m до + 2m распределяется 95,45% от общего числа случайных погрешно-

стей, а в интервал от –3m до +3m попадают 99,73% всех значений ∆ i.

Предельная погрешность. В качестве допустимых погрешностей для ряда

равноточных измерений часто принимают удвоенное 2m или утроенное 3m значе-

ние стандарта. В геодезических работах предельную (допустимую) погрешность

∆пред чаще всего устанавливают из условия

 

 

Δпред ≤ 2m,

 

 

(7.12)

а превосходящие этот допуск погрешности считают грубыми.

Относительная предельная погрешность обычно применяется для характери-

стики точности измерения длины l линий:

m =

Стан-

 

Δпред / l = 1/ (l: Δпред) = 1 / Т,

 

(7.13)

 

 

Например, для расстояний, измеряемых лентой на земной поверхности, допус-

тимыми

считаются относительные

погрешности 1 / Т величиной

1: 1000; 1

: 2000; 1: 3000 в зависимости от условий местности – неблагоприятных, средних,

благоприятных.

7.4. Средняя квадратическая погрешность

Функций измеренных величин

 

Если по условиям задачи выполнены измерения для определения значения не-

которой величины F, являющейся функцией измеренных величин xi

 

 

F = f (x 1, x 2, x 3,..., xn),

то СКП (средняя квадратическая погрешность) этой функции определяется из фор-

мулы

 

 

m F = ∑ 

1  ∂ xi

 



mi ,



 

 

(7.14)

где mi – СКП измеренных величин.

Рассмотрим некоторые функции измеренных величин.

1. Определяемая величина Z представляет сумму двух независимо измеренных

величин X и Y, т.е. функцию вида

 

Z = X + Y.

 

Если измерения выполнены n раз, то в результате измерения с номером i случайная

погрешность ∆Z i величины Zi равна сумме случайных погрешностей величин Xi и

Yi, т. е.

 

 

ΔZ i = ΔХ i + ΔY i.

 

 

(i = 1, 2, …, n)

 

(7.15)

В соответствии с формулой (7.14) каждое равенство i в формуле (7.15) возве-

дем в квадрат, полученные выражения сложим почленно, разделим на n и напишем

n

 ∂ f

 

 

n

 

 

n

 

 

n

 

 

n

∑ΔZ2 i

/n =

∑ΔХ2 i

/n +

∑ΔY2 i /n

+ 2∑ΔХ i ∙ΔY i /n,

(7.16)

 

В выражении (7.16) произведения ∆Х i ·∆Y i представляют случайные величины

и последнее слагаемое равно нулю согласно свойству (7.6). Поэтому с учетом

формулы (7.4) из выражения (7.16) получим дисперсию функции (7.15) в виде

 

 

m 2 Z = m 2 Х + m 2 Y,

 

 

и среднюю квадратическую погрешность величины Z

 

(7.17)

 

 

mZ =

 

 

m 2 Х + m 2 Y.

 

 

(7.18)

 

 

Пример 2. В плоской фигуре, состоящей из двух углов с общей вершиной и

общей стороной, измерены значения углов β1 = 30° 10' и β2 = 60° 01' со средними

квадратическими погрешностями m 1 = m 2 = 0,5'. Вычислить суммарный угол β3 и

его среднюю квадратическую погрешность m 3.

Р е ш е н и е. Искомый угол β3 = β1 + β2 = 90° 11', его средняя квадратическая

погрешность

m 3 = √ 0,52 + 0,52 = 0,7'.

 

2. Определяемая величина представляет разность измеренных величин, т.е.

функцию

 

Z = X – Y.

 

(7.19)

 

Здесь уравнение погрешностей имеет вид

 

 

ΔZ i = ΔХ i – ΔY i,

 

 

и, применив к нему действия по выводу формулы (7.16), в ней последнее слагаемое

получим со знаком “минус” и равным нулю, значит, дисперсия и средняя квадра-

тическая погрешность функции вида Z = X – Y вычисляются по формулам (7.17)

и (7.18), т. е.

.

m 2 Z = m 2 Х + m 2 Y,

mZ =

m 2 Х + m 2 Y

(7.-20)

 

 

Пример 3. В плоской фигуре примера 2 измерен угол β3 = 80° 20' и его часть β2

= 50° 01'. Вычислить вторую часть угла – угол β1 и его среднюю квадратическую

погрешность m 1, если m 3 = m 2 = 0,5'.

Р е ш е н и е. Величина β1 = β3 – β2 = 30° 19', ее средняя квадратическая по-

грешность, вычисленная по формуле (7.20), m 1 = 0,7'.

3. Если суммируются несколько однородных слагаемых, то для функции вида

 

 

Z = ± X ± Y ±…± T

 

дисперсия определяется по формуле

 

 

m 2 Z = m 2 Х + m 2 Y + … + m 2 t,

 

а СКП суммарной величины Z

 

 

mZ = √ m 2 Х + m 2 Y + … + m 2 t.

 

 

4. Для функции Z = К X, где К – постоянная величина, имеем

 

 

(7.21)

 

 

(7.22)

 

(7.23)

 

 

m 2 Z = К 2 m 2 Х

 

 

5. Для функции вида

 

 

mZ = К mХ.

 

 

(7.24)

 

Z = К 1 X ± К 2 Y ± … ± Кn t,

 

 

(7.25)

 

где Кi – постоянные величины (могут быть выражениями), средняя квадратическая

погрешность

 

mZ = √

 

К 21 m 2 Х + К 22 m 2 Y + … + К 2 n m 2 t.

 

 

(7.26)

 

6. Формулы вычисления дисперсии и средних квадратических погрешностей

(7.17), (7.18), (7.22), (7.23), (7.24), (7.26) представляют собой частные случаи опре-

деления дисперсии для функции общего вида

 

 

z = f (y, …, t) + C,

 

 

(7.27)

где С – постоянная величина

Как видим, во всех рассмотренных случаях работает общая формула (7.14), ко-

торую запишем в развернутом виде

и

 

 

m 2 Z = (∂f ∕ ∂x)2 m 2 х + (∂f ∕ ∂у)2 m 2 у + … + (∂f ∕ ∂t)2 m 2 t,

 

где ∂f ⁄ ∂x, ∂f ⁄ ∂у, …, ∂f ⁄ ∂t – частные производные функции по каждому аргу-

менту.

Пример 4. В формуле прямой геодезической задачи определяется координата

х 2 = х 1 + d cos α, где величины d и α являются результатами измерений с погрешно-

стями md и mα, координата х 1 известна с погрешностью mх1. Определить среднюю

квадратическую погрешность mх2 координаты х2.

Р е ш е н и е. Найдем частные производные формулы для х 2

 

 

∂f ∕ ∂x1 = 1; ∂f ∕ ∂d = cos α;

 

т. е. по формуле (7.28) получим

 

 

∂f ∕ ∂α = – d sIn α,

 

m 2 х2 = m 2 х1 + cos2α m 2 d + d 2 sIn2α m 2 α,

 

 

(7.29)

 

где СКП величины mα выражена в радианах. Если величина mα известна в градус-

ной мере, то в формуле (7.29) ее следует выразить в радианах:

 

 

mα = m°α / ρ°; mα = m'α / ρ';

 

 

mα = m"α / ρ",

 

 

(7.30)

 

 

где ρ° = 180/π ≈ 57,3° – число градусов в радиане (в минутах ρ' ≈ 3438', в секундах

ρ" ≈ 206265").

Пусть mх1 = md = 0,1 м; d = 200,00 м; α = 30°; mα = 0,5' (соответственно ρ' =

3438'), тогда

mх2 = √ 0,12 + 0,872·0,12 + 2002·0,52(0,5 /3438)2 = ±0,14 м.

 

 

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического. Представим

формулу (7.7) в следующем виде:

 

 

L = (1/n)∑ l i = (1/n) l 1 + (1/n) l 2 + …+ (1/n) l n,

где 1/ n = К – постоянное число.

В соответствии с формулой (7.26) напишем

 

 

m 2 L = (1/n2)m21 + (1/n2)m22 + … + (1/n2)m2 n.

 

 

При равноточных измерениях принимаем m 1 + m 2 = mn = ml. Обозначим m 2 L =

М 2, получим дисперсию среднего арифметического

(7.28)

 

 

М 2 = [(1/n2) m 2 l ] n = m 2 l / n,

и его СКП

М = ml / √ n,

 

(7.31)

 

т. е. средняя квадратическая погрешность М среднего арифметического из равно-

точных результатов измерений в √n раз меньше средней квадратической погреш-

ности ml отдельного результата измерения.

Пример 5. Для результатов измерений, приведенных в примере 1, вычислить

среднее арифметическое L и его среднюю квадратическую погрешность М.

Р е ш е н и е. В примере 1 определены L = 999,95 мм; ml = 1,22 мм. Вычисляем

М = 1,22 / √ 6 = ±0,50 мм.

Допустимая погрешность суммы равноточно измеренных величин. Пусть в

формуле (7.21) слагаемые ± X, ± Y, …, ± t определены со случайными погрешно-

стями ∆ Х, ∆ Y, …, ∆ t в условиях равноточных измерений, а сумма погрешностей

равна

 

 

ΔΣΔ = Δ Х + Δ Y + …, + Δ t.

 

 

(7.32)

Обозначим через mi среднее квадратическое значение каждой случайной по-

грешности ∆ i, тогда средняя квадратическая погрешность m Σ∆ суммы значений ∆ i

выразится в соответствии с формулой (7.22) как

 

 

m 2ΣΔ = m 2ΔХ + m 2ΔY + … + m 2Δt.

 

 

(7.33)

 

При равноточных измерениях принимают, что их СКП одинаковы, т.е. m ∆Х =

m ∆Y = … = m ∆t = m ∆, тогда выражение (3.33) принимает вид m 2Σ∆ = n m 2∆, откуда

 

 

m Σ∆ = m ∆ √ n,

 

 

(7.34)

где m ∆ – средняя квадратическая погрешность отдельного результата равноточно

измененных величин; n – число слагаемых.

Допустимую (предельную) погрешность для суммарной величины m Σ∆ по (7.34)

примем согласно условию (7.12) равной ее удвоенному значению 2mΣ∆ = ∆Σ∆пред,

тогда

 

 

∆Σ∆пред = 2 m ∆ √ n.

 

 

(7.35)

 

 

Формула вида (7.35) применяется для обоснования допустимых погрешностей

суммы измеренных углов в многоугольниках, суммы измеренных превышений в

нивелирном ходе и др.

Оценка точности двойных измерений. В практике геодезических работ углы,

расстояния, превышения получают как разности отсчетов, т.е. измеряют двукрат-

но. Например, углы измеряют двумя полу приемами, расстояния - прямо и обратно,

превышения – по основной и дополнительной шкалам рейки и т. д. Такие измере-

ния называют двойными. Получают пары равноточных результатов l 1 и l' 1, l 2 и l' 2,

…, ln и l'n. Вычисляют разности ∆i = li - l'i, которые теоретически должны быть

равны нулю и рассматриваются как истинные погрешности каждой пары измере-

ний. Тогда средняя квадратическая погрешность разности двух результатов изме-

рений в соответствии с формулой Гаусса (7.8) равна

 

 

n

m Δ =

(∑Δ2 i) / n,

(i = 1, 2, …, n),

(7.36)

 

при этом для функции ∆ i = li – l'i в соответствии с формулой (3.17) находим m 2∆ =

m 21 + m 22, где m 1 + m 2 – средние квадратические погрешности результатов li и l'i

. Когда измерения равноточны, тогда m 1 = m 2 = ml и

m ∆ = √ 2m2 l, а также

m 2 l = m 2∆ / 2. Величина m ∆ определяется формулой (7.36), следовательно, СКО

отдельного измерения равна

n

ml =

(∑Δ2 i) / 2n.

(i = 1, 2, …, n)

(7.37)

 

Для оценки точности результатов li по формуле (7.37) необходимо предвари-

тельно сложить все разности ∆ i и вычислить среднее

 

 

Δ0 =

 

n

(∑Δ i) / n.

 

(7.38)

 

Если ∆0 не равно нулю, то из разностей ∆ i необходимо исключить системати-

ческую составляющую ∆0. Исправленные разности δ i = ∆ i – ∆0 вводят в следующую

формулу

 

ml = m Δ / √ 2 =

 

 

n

(∑ δ 2i) / (n-1).

 

(7.39)

 

 

Оценка точности, основанная на разностях двойных измерений, не всегда слу-

жит достаточным критерием качества измерений. Если в результатах li и l'i при-

сутствуют одинаковые систематические погрешности (например, в длине мерной

ленты, рулетки), то они исключаются из разности li – l'i, а расчеты по формулам

(7.36) ‒ (7.39) не будут соответствовать действительной точности результатов из-

 

мерений на величину систематической погрешности.

 

 

Исходные положения математической обработки